3、奇异谱分析（SSA）：原理、工具与应用比较

奇异谱分析（SSA）：原理、工具与应用比较

1. SSA基础概念与信号模型

1.1 加权内积与相关性

轨迹矩阵由初始有序对象第 $\tau$ 个元素 $x_{\tau}$ 的 $w_{\tau} = |A_{\tau}| = |T(e_{\tau})| {2}^{F}$ 个元素组成，由此可在空间 $M$ 中引入加权内积 $(Y, Z)_w = \sum {\tau} w_{\tau}y_{\tau}z_{\tau}$。定义 $\rho_w(\tilde{X} 1, \tilde{X}_2) = \frac{(\tilde{X}_1, \tilde{X}_2)_w}{|\tilde{X}_1|_w|\tilde{X}_2|_w}$ 为 $w$-相关性。若一对基本分量的加权相关性较大，则表明这两个分量高度相关，可能应归为同一组。矩阵 $\rho {ij}^{(w)} = \rho_w(\tilde{X} i, \tilde{X}_j)$ 称为 $w$-相关矩阵，范数 $|\cdot|_w$ 为加权范数，用于衡量分解中各分量的贡献，$\tilde{X}_k$ 的贡献定义为 $\frac{|\tilde{X}_k| {w}^{2}}{|X|_{w}^{2}}$。

1.2 线性递归关系（LRR）与信号模型

存在一类满足线性递归关系（LRR）的对象，其轨迹矩阵秩亏。对于时间序列 $S_N = (s_i) {i = 1}^{N}$，LRR 形式为 $s {i + t} = \sum_{k = 1}^{t} a_{k}s_{i + t - k}$，$1 \leq i \leq N