56、模糊数比较与相关数学推导

模糊数比较与相关数学推导

1. 引言

在许多经济和社会问题中，研究对象的信息往往具有模糊性。为了处理这类问题，模糊集理论应运而生。自Zadeh发表关于模糊集的研究以来，大量相关论文涌现。在决策和博弈问题中，收益可能由模糊数表示，这就引发了模糊数运算和比较的问题。目前已经提出了多种模糊数比较方法，但没有一种是通用的，因此需要根据具体问题选择合适的方法。

2. 模糊集的构建

• 模糊集的定义 ：给定集合 $X$ 和函数 $\mu_A : X \to [0; 1]$，模糊集 $A$ 是由所有对 $(x, \mu_A(x))$（$x \in X$）组成的集合。集合 $X$ 称为模糊集 $A$ 的全集，函数 $\mu_A$ 称为模糊集 $A$ 的隶属函数。
• α - 截集 ：对于每个 $\alpha \in [0; 1]$，集合 $A(\alpha) = {x \in X : \mu_A(x) \geq \alpha}$ 称为模糊集 $A$ 的 $\alpha$ - 截集。α - 截集具有以下性质：
  • $A(0) = X$
  • $0 \leq \alpha_1 \leq \alpha_2 \leq 1 \Rightarrow A(\alpha_2) \subset A(\alpha_1)$
  • $0 < \alpha \leq 1 \Rightarrow \bigcap_{0<t\leq1} A(t) = A(\alpha)$