30、矩阵博弈与弱凸优化中的收敛条件分析

矩阵博弈与弱凸优化中的收敛条件分析

1. 基本概念与符号定义

在深入探讨收敛理论之前，我们先明确一些基本的概念和符号。设 (E) 为一个向量空间，(R) 表示实数集，(R_{\infty}= R \cup{\infty})。(E) 中的单位球记为 (B = {x : |x|\leq1})。(E) 中具有闵可夫斯基加法和标准实数乘法的有界闭凸子集的线性向量空间记为 (C(E))。对于任意 (X \subset E)，其内部记为 (int(X))，闭包记为 (cl{X})，边界记为 (\partial X)。点 (x) 与集合 (X \subset E) 之间的距离函数定义为 (\rho(x, X) = \inf_{y\in X} |x - y|)，集合 (X) 的范数定义为 (|X|= \sup_{x\in X} |x|)。

2. 收敛理论

2.1 Zangwill 收敛条件

Zangwill 很早就提出了优化序列 ({x_k}) 收敛到有界解集 (X^{\star}) 的条件。具体来说，如果序列 ({x_k}) 具有以下性质，则收敛是有保证的：
- Z1 ：序列 ({x_k}) 是有界的。
- Z2 ：存在连续函数 (V(x) : E \to R) 满足：
- Z2.1 ：对于任意 (x^{\star} \in X^{\star})，(V(x^{\star}) = 0)，否则 (V(x) > 0)。
- Z2.2 ：如果 ({x_k}) 有一个聚点 (x’