25、求解非凸集最优覆盖与图近似问题的算法研究

求解非凸集最优覆盖与图近似问题的算法研究

在许多实际应用中，我们常常会遇到需要对图形进行覆盖或者对图进行近似处理的问题。例如在城市规划中，需要用最少数量的基站覆盖一定区域；在社交网络分析中，需要将网络中的节点划分为不同的社区。本文将介绍求解非凸集最优覆盖和图近似问题的相关算法。

非凸集最优覆盖问题

在处理非凸集最优覆盖问题时，我们从一个给定的 (n) - 网络 (S) 开始，这个网络可能是通过随机数生成器生成的，也可能是从叠加在图形 (M) 上的晶格中选取的点集。基于这个网络，我们可以构建一个新的 (n) - 网络 (\hat{S})，使得 (h(M, \hat{S}) \leq h(M, S))，其中 (h) 表示豪斯多夫半偏差。

在介绍具体算法之前，我们需要了解一些定义：
- Voronoi 单元 ：对于 (n) - 网络 (S) 中的点 (s_i)，其 Voronoi 单元 (W_i(S)) 定义为 (W_i(S) = { w \in \mathbb{R}^2 : | w - s_i | = \min { | w - s_j | : s_j \in S } })。根据构造，Voronoi 单元要么是凸多边形，要么是由直线段和射线界定的平面的无界凸部分，要么是半平面。
- Dirichlet 域 ：给定紧致集 (M \in \mathbb{R}^2) 和 (n) - 网络 (S)，点 (s_i) 在集合 (M) 中的 Dirichlet 域 (D_i(M, S)) 定义为 (D_i(M, S) = M \cap W_i(S))。

新的网络 (\hat{S} =