图论----最小生成树

最小生成树

对于一个图连通图G<V,E>，n个点，e条边，最小生成树就是n-1条边图的生成子图，且这n-1条边的权值和最小。
对于求最小生成树的两种算法：prim算法和kruskal算法

 

一、prim算法（增点法） 

数组lowcost[n]：用来保存集合V-U中各顶点与集合U中顶点最短边的权值，lowcost[v]=0表示顶点v已加入最小生成树中；
数组adjvex[n]：用来保存该边所依附的（集合V-U中各顶点与集合U中顶点的最短边）集合U中的顶点。

Prim算法——伪代码

1. 初始化两个辅助数组lowcost（=arc[0][i]）和adjvex(=0)(0是始点)；
2. 输出顶点u0，将顶点u0加入集合U中；
3. 重复执行下列操作n-1次

•     在lowcost中选取最短边(lowcost[k])，取对应的顶点序号k；
•    输出顶点k和对应的权值；
•   将顶点k加入集合U中（lowcost[k]=0）；
•    调整数组lowcost和adjvex；

 

Void prime(MGraph G){
    for(int i=1;i<G.vertexNu;i++){
        lowcost[i]=G.arc[0][i];  adjvex[i]=0;
    }
    lowcost[0]=0;
    for(i=1;i<G.vertexNum;i+++){
        k=MinEdge(lowcost,G.vertexNum)
        cout<<K<<adjvex[k]<<lowcost[k];
        lowcost[k]=0;
for(j=1;j<G.vertexNum;j++)
          if((G.arc[k][j]<lowcost[j]){
              lowcost[j]=G.arc[k][j];
              arcvex[j]=k;
           }
    }
}

Prim算法时间复杂性为O(n^2)，适用于稠密图

 

二、kruskal算法（增边法）

基本思想：

1. 设无向连通网为G＝(V, E)，令G的最小生成树为T＝(U, TE)，其初态为U＝V，TE＝{ }，
2. 然后，按照边的权值由小到大的顺序，考察G的边集E中的各条边。

• 若被考察的边的两个顶点属于T的两个不同的连通分量，则将此边作为最小生成树的边加入到T中，同时把两个连通分量连接为一个连通分量；
• 若被考察边的两个顶点属于同一个连通分量，则舍去此边，以免造成回路，

1. 如此下去，当T中的连通分量个数为1时，此连通分量便为G的一棵最小生成树。

 

步骤注意：

• 图的存储结构采用边集数组存储图。

 

• 如何判断一条边所依附的两个顶点在同一个连通分量中

      定义Parent[i]数组，辅助完成连通分量的处理。数组分量的值表示顶点i的双亲节点（初值为-1；）

     当一条边（u,v）的两个顶点的根结不同时，这两个结点属于不同的连通分量（利用parent 数组查找一棵树的根节点。当一个结点n的parent==-1，树的根节点即为n）

•  如何将一条边所依附的两个顶点合并到同一个连通分量中
        要进行联通分量的合并 ，其中一个顶点所在的树的根节点为vex1，另一个顶点所在的树的根节点为vex2，则：parent[vex2]=vex1；

   

kruskal：边集数组排序，时间复杂性O(eloge);在e条边中选边，时间复杂性为O(e)

因此时间复杂性为O（eloge）