第四章 动态规划

动态规划的基本思想

将待求解问题分解成若干个子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。

适合于用动态规划求解的问题，经分解得到子问题往往不是互相独立的。若用分治法来解这类问题，则分解得到的子问题数目太多，有些子问题被重复计算了很多次。

如果我们能够保存已解决的子问题的答案，而在需要时再找出已求得的答案，这样就可以避免大量的重复计算，节省时间。
我们可以用一个表来记录所有已解的子问题的答案。不管该子问题以后是否被用到，只要它被计算过，就将其结果填入表中。

 

 

设计动态规划法的步骤

1. 找出最优解的性质，并刻画其结构特征；
2. 递归地定义最优值（写出动态规划方程）；
3. 以自底向上的方式计算出最优值；
4. 根据计算最优值时得到的信息，构造一个最优解。

步骤1～3是动态规划算法的基本步骤。
在只需要求出最优值的情形，步骤4可以省略；
若需要求出问题的一个最优解，则必须执行步骤4。

 

动态规划问题的特征 

• 最优子结构：

当问题的最优解包含了其子问题的最优解时，称该问题具有最优子结构性质。

• 重叠子问题：

在用递归算法自顶向下解问题时，每次产生的子问题并不总是新问题，有些子问题被反复计算多次。动态规划算法正是利用了这种子问题的重叠性质，对每一个子问题只解一次，而后将其解保存在一个表格中，在以后尽可能多地利用这些子问题的解。

 

计算最大子段和问题--动态规划

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
int dp[200005],a[200005];
int main()
{
    int n;
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d",&a[i]);
    dp[1]=a[1];
    int sta=1,en=1;
    int ans=a[1];
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        dp[i]=max(dp[i-1]+a[i],a[i]);
        if(dp[i-1]<0)
          sta=i;
        if(ans<dp[i])
          en=i;
        ans=max(ans,dp[i]);
    }
    printf("%d %d\n",sta,en);
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}

 

0-1背包问题--动态规划

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define max(a,b) a>b?a:b
using namespace std;
int main()
{
    int T,N,V,f[1001],vol[1001],val[1001],tem;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%d %d",&N,&V);
        for(int i=1;i<=N;i++)
        scanf("%d",&val[i]);
        for(int i=1;i<=N;i++)
        scanf("%d",&vol[i]);
        memset(f,0,sizeof(f));
        for(int i=1;i<=N;i++)
        {
            for(int j=V;j>=vol[i];j--)
            {
               f[j]=max(f[j],f[j-vol[i]]+val[i]);
            }
        }
        cout<<f[V]<<endl;
    }
    return 0;
}