P4943 密室(Dijkstra+堆优化)

这是一道基于《哈利波特与密室》背景的算法题,要求利用Dijkstra算法找到哈利与罗恩分别到达两个目标位置的最短路径。题目涉及到图论中的最短路径问题,需要考虑特定条件下的可达性和最优解。

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# 密室

## 题目背景

NOIP2018 原创模拟题 T2

NOIP DAY1 T2 or DAY2 T2 难度

题目背景改编自小说《哈利波特与密室》。

## 题目描述

**密室被打开了。**

哈利与罗恩进入了密室,他们发现密室由n个小室组成,所有小室编号分别为:1,2,...,n。所有小室之间有 m 条通道,对任意两个不同小室最多只有一条通道连接,而每通过一条通道都需要 i 的时间。

开始时哈利与罗恩都在编号为1 的小室里,他们的目标是拯救金妮和寻找日记,但是他们发现金妮和日记可能在两个不同的小室里,为了尽快发现真相,他们决定以最少的时间到达两个目标小室。但是某些小室只有会与蛇对话的人才能进入,也就是只有哈利一个人可以进入。

现在,哈利告诉你密室的结构,请你计算他们到达两个目标小室的最短时间。

## 输入格式

第一行 n,m,k 表示有 n 个小室 m 条通道k 间小室只有哈利可以进入。

第二行 k 个数,表示只有哈利可以进入的小室的编号。(若 k=0,不包含该行)

接下来 m 行,每行 3个数:a,b,c 表示 a 小室与 b 小室之间有一条需要花费 c时间的通道。

最后一行,两个数 x,y 表示哈利与罗恩需要去的小室的编号

## 输出格式

一行,输出一个数,表示到达两个密室的最短时间。、

AC code

#include<cstdio>
#include<queue>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
int limit[55000];
int head[200000],nextv[200000],edge[200000],var[200000];
int tot=0;
int n,m,k,t;
int x,y,z;
int r1,r2;
int r1_A,r2_B,r1_B,r2_A,bet;
priority_queue< pair<int ,int > > map;
int dest[55000];
bool visited[55000];
void add(int x,int y,int z){
	tot++;
	var[tot]=y;
	edge[tot]=z;
	nextv[tot]=head[x];
	head[x]=tot;
}
int dijkstra(int s,int p){
	memset(visited,false,sizeof(visited));
	memset(dest,0x3f3f3f,sizeof(dest));
	dest[s]=0;
	map.push(make_pair(0,s));
	while(!map.empty()){
		int num=map.top().second;
		map.pop();
		if(visited[num]==true)continue;
		visited[num]=true;
		for(int e=head[num];e!=0;e=nextv[e]){
			if(dest[var[e]]>dest[num]+edge[e] && (p==1 || p==3|| (p==2 && limit[var[e]]==false))){
				dest[var[e]]=dest[num]+edge[e];
				map.push(make_pair(-dest[var[e]],var[e]));
			}
		}
	}
	if(p==1){
		r1_A=dest[r1];
		r2_A=dest[r2];
	}
	else if(p==2){
		r1_B=dest[r1];
		r2_B=dest[r2]; 
	}
	else if(p==3){
		bet=dest[r2];
	}
} 
int main(){
	scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
	for(register int i=0;i<k;i++){
		scanf("%d",&t);
		limit[t]=true;
	}
	for(register int i=0;i<m;i++){
		scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
		add(x,y,z);
		add(y,x,z);
	}
	scanf("%d%d",&r1,&r2);
	dijkstra(1,1);
    dijkstra(1,2);
    dijkstra(r1,3);
	int mini=min(max(r1_A,r2_B),min(max(r1_B,r2_A),min(r1_A,r2_A)+bet));
	printf("%d",mini);
	return 0;
} 

### 使用优化Dijkstra算法在C++中的实现 Dijkstra算法的核心在于逐步扩展当前已知的短路径,而为了提高效率,可以利用优先队列()来加速选取下一个待处理的节点的过程。以下是基于优化Dijkstra算法在C++中的具体实现。 #### 1. 算法概述 传统的Dijkstra算法通过线性扫描的方式寻找距离起点近的未访问节点,时间复杂度为 \(O(V^2)\),其中 \(V\) 是图中顶点的数量。当使用二叉作为优先队列时,可以在 \(O(\log V)\) 的时间内完成插入和删除操作,从而将总的时间复杂度降低至 \(O((E+V)\log V)\)[^2],其中 \(E\) 表示图中边的数量。 #### 2. C++ 实现代码 下面是一个完整的优化Dijkstra 算法的 C++ 实现: ```cpp #include <iostream> #include <vector> #include <queue> #include <climits> using namespace std; struct Edge { int to; long long weight; }; // 定义一个小根比较函数 struct Compare { bool operator()(const pair<long long, int>& a, const pair<long long, int>& b) { return a.first > b.first; // 按照距离从小到大排列 } }; void dijkstra(int start, vector<vector<Edge>>& adjList, vector<long long>& dist) { priority_queue<pair<long long, int>, vector<pair<long long, int>>, Compare> pq; // 初始化距离数组 for (int i = 0; i < dist.size(); ++i) { dist[i] = LLONG_MAX; } dist[start] = 0; pq.push({0, start}); while (!pq.empty()) { auto current = pq.top(); pq.pop(); int u = current.second; long long d = current.first; // 如果已经找到了更优的距离,则跳过此节点 if (d > dist[u]) continue; // 遍历相邻节点并尝试更新距离 for (auto& edge : adjList[u]) { int v = edge.to; long long w = edge.weight; if (dist[v] > dist[u] + w) { // 松弛操作 dist[v] = dist[u] + w; pq.push({dist[v], v}); } } } } int main() { int n, m, s; cin >> n >> m >> s; // 输入节点数、边数以及起点编号 vector<vector<Edge>> adjList(n + 1); // 邻接表表示图 for (int i = 0; i < m; ++i) { int from, to, weight; cin >> from >> to >> weight; adjList[from].push_back(Edge{to, weight}); // 单向边 } vector<long long> dist(n + 1); dijkstra(s, adjList, dist); // 输出结果 for (int i = 1; i <= n; ++i) { cout << "Distance from source to node " << i << ": "; if (dist[i] == LLONG_MAX) { cout << "INF\n"; // 若不可达则输出 INF } else { cout << dist[i] << "\n"; } } return 0; } ``` #### 3. 关键点解析 - **数据结构的选择** 使用 `priority_queue` 和自定义比较器实现了的功能,能够快速获取当前距离起点近的节点[^4]。 - **松弛操作** 当发现一条新的路径使得目标节点的距离变得更小时,立即更新其距离值,并将其加入优先队列以便后续进一步探索[^3]。 - **性能提升** 利用优化后的版本显著减少了不必要的重复计算,在稀疏图上的表现尤为突出。 --- ###
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