C++快速幂详解

快速幂相较于普通的幂，具有占用空间少，效率更高等优点，全面碾压普通的幂。

在计算量较小时，二者相差无几，但数据规模一旦上来了，差距也就出来了。

所以，我们重点讲解快速幂

---

首先给出一个问题

---

给定 a,b,p 求a^b%p的值          1<a,b,p<

---

方法一（朴素）：

讲道理，我们先把普通的朴素代码展示出来。从简单入手：

#include<cstdio>
unsigned long long a,b,p,x=1;
int main(){
	scanf("%llu %llu %llu",&a,&b,&p);
	for(int i=1;i<=b;i++){
		x=x*a%p;
	}
	printf("%llu",x);
	return 0;
}

能看懂吧！有人会问那最后的答案为什么会是x,那是因为我们在计算a^b时已经插入了取模运算，如下：

（a^b）mod p

=(a*a*a*a.....*a*a*a*a) mod p

=a mod p * a mod p * a mod p * a mod p ....... * a mod p

(一个无限套娃)

我们这样做的目的，就是避免大数相乘溢出数据范围，减少计算量。

但即使这样，如果a,p足够大，相乘起来也依然能够超过unsigned long long 的数据范围

(补充: unsigned long long 的数据范围是 [0,2^64),右边是开区间！2^64约为10^9)

方法二（位运算）：

先上代码：

#include<cstdio>
unsigned long long a,b,p,ans=1;
int main(){
	scanf("%llu %llu %llu",&a,&b,&p);
	for(;b>0;b>>=1){
		if((b & 1)==1){
			ans=ans*a%p;
		} 
		a=(a*a)%p;
	}
	printf("%llu",ans);
	return 0;
} 

这个算法解释如下：
1.首先我们要明白任何一个正整数都能拆分成2的不同次幂相加的和。

例如: 7=2^0+2^1+2^2             19=2^0+2^1+2^4

说白了，就是能转换成2进制 

7     二进制      111              19        二进制      10011

同样对于b，我们能转化成

b=*c1+*c2+*c3.........的形式，很明显，cX只能为0，1，因为二进制每一位上最大为1

那么 a^b=a^(*c1+*c2+*c3........)

=a^ *c1     *      a^*c2    *      a^  *c3.........

=      *       *  .....................

mod p

=  mod p    *    mod p   *     mod p....................

到这里已经可以看出

a a^2 a^3  a^n可以通过前面 a^n-1推来

只需判断b对应二进制该位上是否为1

若为1，则计算，若为0不用管，因为 2^0=1 1对乘法运算没有影响

更多的，还需要读者多多思考，注重实践

新年到来之际，祝大家新年快乐！

谢谢大家的支持！

Thanks for watching!