第一话 统计计算之随机变量生成方法

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第一话 统计计算之随机变量生成方法

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提示：写完文章后，目录可以自动生成，如何生成可参考右边的帮助文档

（本篇博客是自己根据导师的统计计算课程的课件自行整理可得，如有错误，请联系我，此笔记仅用于学习，如需转载，请注明来源，谢谢！）

1 引言

计算统计的基本工具就是要从指定的概率分布中生成随机变量，最基本最重要的是均匀分布的伪随机数生成器，其他概率分布的随机数生成方法大都依赖于均匀分布随机数生成器。
在R语言中，均匀分布的随机数的生成为：

runif(n) #generate a vector of size n in [0,1]
runif(n,a,b) #generate n Uniform(a, b) numbers
matrix(runif(n*m),n,m) #generate n by m matrix

另外，一个抽样函数sample()用于从一个有限总体中有放回或者无放回地抽样。

sample(0:1, size = 10, replace = TRUE) # replace = TRUE 表示有放回抽样
sample(1:100, size = 6, replace = FALSE) # replace = FALSE 表示有放回抽样
x=sample(1:3,size=100,replace=TRUE,prob=c(.2,.3,.5)) #sample from a multinomial dist.

2 随机数生成方法-逆变换方法(Inverse Transform Method)

逆变换方法主要使用以下定理：

• 定理1：如果X是一个连续的随机变量，其CDF(累积分布函数)为$F_X(x)$，则$U=F_X(X)\sim U(0,1)$。

关于定理1的证明，在此不再详细赘述，有兴趣可参见相关统计计算书籍。

根据定理1，得到一般连续型随机变量$X$的生成步骤：

• step1: 推导逆函数$F_X^{-1}(u)$；
• step2: 生成一个来自均匀分布$U(0,1)$的随机数$u$
• step3: 通过步骤1的逆函数产生$X$的随机数$x=F_X^{-1}(u)$

这个方法是生成随机数的最基本的方法，通常很容易应用在分布函数的逆$F_X^{-1}$很容易计算的前提下。

2.1 laplace分布随机数

标准的Laplace分布的密度函数为$f(x)=\frac{1}{2}{e}^{-|x|},x\in \mathbb{R}$。使用逆变换方法从这个分布中生成样本量为1000的随机样本。并使用本章演示的方法来检查和比较生成的样本和目标分布。

根据标准的Laplace分布的密度函数通过求积分可以得知其分布函数为：

$$La(x;0,1)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{2}{e}^x,& x\le 0\\ 1-\frac{1}{2}{e}^{-x},& x\end{array}$$