模型评价-期望对数似然和对应的估计量

我们可以通过计算KL信息来评估给定模型的合适性。 但是，KL信息在真实建模中只能在有限的几个例子中使用，因为KL信息包含了未知分布$g$，这使得KL信息不能被直接计算。

KL信息可以被分解为
$$I(g;f)=E_G\left[\log \left\{\frac{g(X)}{f(X)}\right\}\right]=E_G[\log g(X)]-E_G[\log f(X)]$$
此外，等式右边的第一项是一个常数，因为它仅仅依赖于真实模型$g$，显然为了比较不同的模型，仅考虑上式的第二项即可。 这一项被称为期望对数似然（expected log-likelihood）. 这一项的值越大，KL信息越小，则该模型越好。

因为期望对数似然可以表达为
$$\begin{array}{rl}{E}_G[\log f(X)]& =\int \log f(x)dG(x)\\ & =\{\begin{array}{ll}{\int }_{-\infty }^{\infty }g(x)\log f(x)dx,& \text{连续模型, }\\ {\sum }_{i=1}^{\infty }g\left(x_i\right)\log f\left(x_i\right),& \text{离散模型, }\end{array}\end{array}$$
我们发现，期望对数似然仍然依赖于真实分布$g$，这是一个无法明确计算的未知量。可是，如果能从数据中获得一个良好的期望对数似然的估计，那么这个估计可以用来作为比较模型的准则。

我们考虑如下的问题，定义xn={x1,x2,…,xn}\boldsymbol{x}_n=\left\{x_1, x_2, \ldots, x_n\right\}xn​={x1​,x2​,…,xn​}是从真实分布$G(x)$或$g(x)$获得的观测数据。通过将未知的概率分布$G$用基于观测数据的经验分布函数$\hat{G}$替换，我们可以获得一个期望对数似然的估计。 众所周知，经验分布函数是概率函数为$\hat{g}(x_{\alpha })=1/n,\alpha =1,\dots ,n$的分布函数。这意味着$n$个观测中的每一个观测具有相等的概率$1/n$。事实上，通过这种替换，我们可以获得，
$$\begin{array}{rl}{E}_{\hat{G}}[\log f(X)]& =\int \log f(x)d\hat{G}(x)\\ & =\sum _{\alpha =1}^n\hat{g}\left(x_{\alpha }\right)\log f\left(x_{\alpha }\right)\\ & =\frac{1}{n}\sum _{\alpha =1}^n\log f\left(x_{\alpha }\right).\end{array}$$
基于大数定律，当$n\to \infty$, 随机变量的均值$Y_{\alpha }=\log f\left(X_{\alpha }\right),\alpha =1,\dots ,n$依概率收敛于它的期望。也就是说，下面的收敛是成立的，即
$$\frac{1}{n}\sum _{\alpha =1}^n\log f\left(X_{\alpha }\right)⟶E_G[\log f(X)],n\to +\infty$$
因此，显然，我们发现期望对数似然的一个自然估计是基于概率分布函数的估计。
$$n\int \log f(x)d\hat{G}(x)=\sum _{\alpha =1}^n\log f\left(x_{\alpha }\right)$$
期望对数似然的估计乘以$n$就是模型$f(x)$的对数似然(log-likelihood)。 这意味着在统计分析中频繁使用的对数似然可以清楚地理解为KL信息的近似。