Arc length distance(弧长距离)

本文介绍了子空间间距离的一种度量方法——弧长距离。基于两组正交矩阵的列向量所张成的子空间,通过计算它们之间的主角(principal angles)来定义弧长距离。此外还提到了其他几种子空间距离的定义。

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Arc length distance

注:该观点是对论文THE GEOMETRY OF ALGORITHMS WITH ORTHOGONALITY CONSTRAINTS的整理。

Arc length distance 是一种度量两个子空间距离的一种定义。

假设定义θi(i=1,...,p)\theta_i(i=1,...,p)θi(i=1,...,p)是由n−by−pn-by-pnbyp的正交矩阵Y1Y_1Y1Y2Y_2Y2Y1Y_1Y1Y2Y_2Y2也可以理解为各自所对应的子空间的正交基。)的列所张成的两个子空间之间的主角(prinpical angles),也就是说:Y1TY2Y_{1}^{T} Y_2Y1TY2的奇异值分解为Ucos(Θ)VTUcos(\Theta)V^{T}Ucos(Θ)VT
即:

Y1TY2=Ucos(Θ)VTY_{1}^{T} Y_2 = Ucos(\Theta)V^{T}Y1TY2=Ucos(Θ)VT

Θ\ThetaΘ是主角(principal angles)的对角矩阵。
则弧长距离(arc length distance)定义为:

d(Y1,Y2)=∣∣θ∣∣2d(Y_1,Y_2) = ||\theta||_2d(Y1,Y2)=θ2

此外,其他的一些距离公式定义如下:
在这里插入图片描述
具体定义不作详细阐述。

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