Arc length distance
注:该观点是对论文THE GEOMETRY OF ALGORITHMS WITH ORTHOGONALITY CONSTRAINTS的整理。
Arc length distance 是一种度量两个子空间距离的一种定义。
假设定义θi(i=1,...,p)\theta_i(i=1,...,p)θi(i=1,...,p)是由n−by−pn-by-pn−by−p的正交矩阵Y1Y_1Y1和Y2Y_2Y2(Y1Y_1Y1和Y2Y_2Y2也可以理解为各自所对应的子空间的正交基。)的列所张成的两个子空间之间的主角(prinpical angles),也就是说:Y1TY2Y_{1}^{T} Y_2Y1TY2的奇异值分解为Ucos(Θ)VTUcos(\Theta)V^{T}Ucos(Θ)VT 。
即:
Y1TY2=Ucos(Θ)VTY_{1}^{T} Y_2 = Ucos(\Theta)V^{T}Y1TY2=Ucos(Θ)VT
Θ\ThetaΘ是主角(principal angles)的对角矩阵。
则弧长距离(arc length distance)定义为:
d(Y1,Y2)=∣∣θ∣∣2d(Y_1,Y_2) = ||\theta||_2d(Y1,Y2)=∣∣θ∣∣2
此外,其他的一些距离公式定义如下:
具体定义不作详细阐述。