求解传输问题(四) Modified Distribution算法

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本文介绍了Modified Distribution算法（MODI），一种解决运输问题的优化策略。MODI被视为Stepping-Stone算法的变体，通过数学表达式直接计算空单元格对总成本的影响，而非识别Loop。通过举例说明了MODI的实施步骤，包括计算ui和vj序列，确定成本变化以及空单元格的选择。虽然MODI能直接计算成本变化，但计算量并未显著减少。

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Modified Distribution算法(MODI)其实可以看成是Stepping-Stone算法的变体，它和Stepping-Stone算法的主要区别在于MODI是通过数学表达式直接计算空单元格对总cost的变化情况，而不是先识别Loop

我们还是使用之前的例子：
三个Supply结点，其供应量为：

仓库	库存(Supply)
1. 堪萨斯	150
2. 奥马哈	175
3. 得梅因	275
Total	600

三个Demand结点，其需求量为：

面粉厂	需求(Demand)
A. 芝加哥	200
B. 圣路易斯	100
C. 辛辛那提	300
Total	600

路径的单位花销：


	A.芝加哥	B.圣路易斯	C.辛辛那提
1. 堪萨斯	$6	$8	$10
2. 奥马哈	$7	$11	$11
3. 得梅因	$4	$5	$12

根据上面的已知量，采用Minimum-Cell-Cost算法，得到了如下表所示的初始解：
在这里插入图片描述
要进行MODI，我们需要对初始的TP表进行扩展，在表的外层添加 $u$ 列和 $v$ 行：

新增的 $u_i$ 和 $v_j$ 序列和具有分配值的单元格的单位花销构成这样的等式约束：
$\begin{aligned} u_i+v_j=C_{ij} \end{aligned}$
例如对于单元格1B，有：
$\begin{aligned} u_1+v_B=C_{1B}=8 \end{aligned}$
剩下的等式：
$\begin{aligned} u_1+v_C=10 \\ u_2+v_C=11 \\ u_3+v_A=4 \\ u_3+v_B=5 \end{aligned}$
我们需要例用这五个等式计算出六个 $u_i$ 和 $v_j$ 的值；不过因为只有5个等式，我们必须手动把其中一个置零才能计算剩下的变量，一般就直接让 $u_1=0$ ，然后就可以计算出剩下的变量值：
$\begin{aligned} x_{1B}:u_1+v_B&=8 \\ 0+v_B&=8 \\ v_B&=8\\ x_{1C}:u_1+v_C&=10\\ 0+v_C&=10\\ v_C&=10\\ x_{2C}:u_2+v_C&=11 \\ u_2+10&=11 \\ u_2&=1 \\ x_{3B}:u_3+v_B&=5\\ u_3+8&=5 \\ u_3&=-3\\ x_3A:u_3+v_A&=4\\ -3+v_A&=4\\ v_A&=7\\ \end{aligned}$