求解传输问题(三) Stepping-Stone算法

最新推荐文章于 2024-11-20 09:35:09 发布

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#运筹优化

本文介绍了运筹优化中的Stepping-Stone算法，用于求解运输问题的最优解。通过举例展示了算法的基本思想，即通过寻找并调整Loop来降低总成本。在示例中，经过迭代，找到了问题的最优解，并指出当所有空单元格的cost变化均为非负时，迭代结束，得出多最优值问题的可能性。

当使用某种初始化算法得到TP问题的一个初始解后，就可以使用迭代算法进行最优解的搜索；Stepping-Stone算法和Modified Distribution(MODI)算法是常用的两种算法，这篇文章先介绍Stepping-Stone算法，而初始化算法则默认使用Minimum-Cell-Cost算法

还是使用前面文章使用的例子来说明：
三个Supply结点，其供应量为：

仓库	库存(Supply)
1. 堪萨斯	150
2. 奥马哈	175
3. 得梅因	275
Total	600

三个Demand结点，其需求量为：

面粉厂	需求(Demand)
A. 芝加哥	200
B. 圣路易斯	100
C. 辛辛那提	300
Total	600

路径的单位花销：


	A.芝加哥	B.圣路易斯	C.辛辛那提
1. 堪萨斯	$6	$8	$10
2. 奥马哈	$7	$11	$11
3. 得梅因	$4	$5	$12

根据上面的已知量，采用Minimum-Cell-Cost算法，得到了如下表所示的初始解：
在这里插入图片描述
Stepping-Stone算法的基本思想是验证如果给一个空单元格进行分配，是否能达到一个更低的目标值。在上面的例子中，有4个单元格是空的：1A, 2A, 2B和3C，我们首先评估下给单元格1A进行分配造成的cost变化情况：如果我们给1A分配一个单位的数量，那么总cost将会提高$6；但是给1A多分配一个单位将使得第一行的总supply变成151，为了维持约束，我们必须在这一行中选择一个已经分配的单元格减去1单位；在第一行，1B是已分配状态，所以从1B上减掉1单位；从1B上减去1个单位将使得这一列的总demand变成99，所以我们又需要在这一列的3B上加1单位来维持约束；类似的，给3B加一单位，我们又需要从3A上减掉1个单位；而在3A这一列上，1A在最开始就加上了一单位，整个TP表刚好平衡了；那么1A->1B->3B->3A刚好构成了一个回路，也就是前面文章提到的Loop
在这里插入图片描述
现在我们可以计算一下按照这个Loop进行一单位数量的变化所引起的总Cost变化是多少：
$\begin{aligned} 1A\rightarrow1B\rightarrow3B\rightarrow3A \\ +6-8+5-4=-1 \end{aligned}$
可见，每次在1A上新加一单位的数量，将使得总的cost降低$1，也就意味着我们可以按照这个Loop进行数量的重分配来达到一个更优解；不过我们不急着这么做，因为还有另外3个空单元格没有评估，我们可以看看是否又能使得总cost降低更多的Loop

对于2A，其Loop和cost变化值：
在这里插入图片描述
$\begin{aligned} 2A\rightarrow 2C\rightarrow 1C \rightarrow 1B \rightarrow 3B \rightarrow 3A \\ +7-11+10-8+5-4=-1 \end{aligned}$

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