概率论知识回顾（十七）：方差

概率论知识回顾（十七）

重点：方差

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知识回顾

1. 方差的定义是什么？从离散随机变量，密度函数，以及分布函数的角度求解方差公式。
2. 证明 $DX=E(X^2)-(EX{)}^2$。
3. 试列举一些常见的概率分布的方差。
4. 如果，$X_1,X_2,\cdots ,X_n$ 相互独立，那么，$D(a_1{X}_1+a_2{X}_2+\cdots +a_n{X}_n)=?$。
5. 对随机变量的标准化应该怎么进行？
6. 变异系数是什么？

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知识解答

1. 方差的定义是什么？从离散随机变量，密度函数，以及分布函数的角度求解方差公式。

   • 设 X 是随机变量，如果 $E[X-E(X){]}^2$ 存在，则称 $E[X-E(X){]}^2$ 是随机变量 X 的方差。记为 $D(X),DX,Var(X),VarX$
   • $DX=\{\begin{array}{ll}{\sum }_{k=1}^{+\infty }[x_k-E(X){]}^2{p}_k& ifX为离散变量\\ {\int }_{-\infty }^{+\infty }[x-E(X){]}^{2}f(x)dx& iff(x)为X的密度函数\\ {\int }_{-\infty }^{+\infty }[x-E(X){]}^{2}dF(x)& ifF(x)为X的分布函数\end{array}$

2. 证明 $DX=E(X^2)-(EX{)}^2$。

   ​ $$\begin{array}{rl}DX& =E[X-E(X){]}^2\\ & =E[X^2-2XE(X)+(EX{)}^2]\\ & =E(X^2)-2E(X)E(X)+(EX{)}^2\\ & =E(X^2)-(EX{)}^2\end{array}$$

   • 首先有一点应该明白，$EX$ 是指随机变量的期望，也就是说它是一个实数，而我们知道 $E(C)=C$, 因此也就有 $EEX=EX$, 因此推导上面的公式应该首先要明白，那些是随机变量，那些是实数。

3. 试列举一些常见的概率分布的方差。

   • $X\sim (0-1):DX=p(1-p)$
   • $X\sim B(n,p):DX=np(1-p)$
   • $X\sim P(\lambda ):DX=\lambda$
   • $几何分布：DX=\frac{1-p}{p^2}$
   • $X\sim U(a,b):DX=\frac{(b-a{)}^2}{12}$
   • $X\sim N(\mu ,{\sigma }^2):DX={\sigma }^2$
   • $X\sim \Gamma (\alpha ,\beta ):DX=\frac{\alpha }{{\beta }^2}$

4. 如果，$X_1,X_2,\cdots ,X_n$ 相互独立，那么，$D(a_1{X}_1+a_2{X}_2+\cdots +a_n{X}_n)=?$。

   • $D(a_1{X}_1+a_2{X}_2+\cdots +a_n{X}_n)=a_1^{2}D{X}_1+a_2^{2}D{X}_2+\cdots +a_n^{2}D{X}_n$

5. 对随机变量的标准化应该怎么进行？

   • $X^{\ast }=\frac{X-E(X)}{\sqrt{DX}}$

6. 变异系数是什么？

   • 我们知道方差是用来刻画数据的离散程度的，然而方差智能刻画数据离散程度大的绝对值，无法刻画相对值。
   • 变异系数就是用来刻画离散程度的相对值。${\delta }_X=\frac{\sqrt{D(X)}}{E(X)}$