概率论知识回顾(十七)
重点:方差
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知识回顾
- 方差的定义是什么?从离散随机变量,密度函数,以及分布函数的角度求解方差公式。
- 证明 DX=E(X2)−(EX)2DX = E(X^2) - (EX)^2DX=E(X2)−(EX)2。
- 试列举一些常见的概率分布的方差。
- 如果,X1,X2,⋯ ,XnX_1, X_2,\cdots,X_nX1,X2,⋯,Xn 相互独立,那么,D(a1X1+a2X2+⋯+anXn)=?D(a_1X_1 + a_2X_2 + \cdots + a_nX_n) = ?D(a1X1+a2X2+⋯+anXn)=?。
- 对随机变量的标准化应该怎么进行?
- 变异系数是什么?
知识解答
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方差的定义是什么?从离散随机变量,密度函数,以及分布函数的角度求解方差公式。
- 设 X 是随机变量,如果 E[X−E(X)]2E[X - E(X)]^2E[X−E(X)]2 存在,则称 E[X−E(X)]2E[X - E(X)]^2E[X−E(X)]2 是随机变量 X 的方差。记为 D(X),DX,Var(X),VarXD(X), DX, Var(X), VarXD(X),DX,Var(X),VarX
- DX={∑k=1+∞[xk−E(X)]2pkif X为离散变量∫−∞+∞[x−E(X)]2f(x)dxif f(x)为X的密度函数∫−∞+∞[x−E(X)]2dF(x)if F(x)为X的分布函数DX = \begin{cases}\sum_{k=1}^{+\infty}[x_k - E(X)]^2p_k & if \ X 为离散变量 \\ \int_{-\infty}^{+\infty}[x - E(X)]^2f(x)dx & if \ f(x)为X的密度函数 \\ \int_{-\infty}^{+\infty}[x - E(X)]^2dF(x) & if \ F(x) 为X的分布函数 \end{cases}DX=⎩⎪⎨⎪⎧∑k=1+∞[xk−E(X)]2pk∫−∞+∞[x−E(X)]2f(x)dx∫−∞+∞[x−E(X)]2dF(x)if X为离散变量if f(x)为X的密度函数if F(x)为X的分布函数
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证明 DX=E(X2)−(EX)2DX = E(X^2) - (EX)^2DX=E(X2)−(EX)2。
DX=E[X−E(X)]2=E[X2−2XE(X)+(EX)2]=E(X2)−2E(X)E(X)+(EX)2=E(X2)−(EX)2\begin{aligned}DX &= E[X - E(X)]^2 \\ &=E[X^2 -2XE(X) + (EX)^2] \\ &= E(X^2) - 2E(X)E(X) + (EX)^2 \\ &= E(X^2) - (EX)^2 \end{aligned}DX=E[X−E(X)]2=E[X2−2XE(X)+(EX)2]=E(X2)−2E(X)E(X)+(EX)2=E(X2)−(EX)2
- 首先有一点应该明白,EXEXEX 是指随机变量的期望,也就是说它是一个实数,而我们知道 E(C)=CE(C) = CE(C)=C, 因此也就有 EEX=EXEEX = EXEEX=EX, 因此推导上面的公式应该首先要明白,那些是随机变量,那些是实数。
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试列举一些常见的概率分布的方差。
- X∼(0−1):DX=p(1−p)X \sim (0-1): DX = p(1-p)X∼(0−1):DX=p(1−p)
- X∼B(n,p):DX=np(1−p)X \sim B(n, p) : DX = np(1-p)X∼B(n,p):DX=np(1−p)
- X∼P(λ):DX=λX \sim P(\lambda) : DX = \lambdaX∼P(λ):DX=λ
- 几何分布:DX=1−pp2几何分布:DX = \frac{1-p}{p^2}几何分布:DX=p21−p
- X∼U(a,b):DX=(b−a)212X \sim U(a, b) : DX = \frac{(b-a)^2}{12}X∼U(a,b):DX=12(b−a)2
- X∼N(μ,σ2):DX=σ2X \sim N(\mu, \sigma^2) : DX = \sigma^2X∼N(μ,σ2):DX=σ2
- X∼Γ(α,β):DX=αβ2X \sim \Gamma(\alpha, \beta) : DX = \frac{\alpha}{\beta^2}X∼Γ(α,β):DX=β2α
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如果,X1,X2,⋯ ,XnX_1, X_2,\cdots,X_nX1,X2,⋯,Xn 相互独立,那么,D(a1X1+a2X2+⋯+anXn)=?D(a_1X_1 + a_2X_2 + \cdots + a_nX_n) = ?D(a1X1+a2X2+⋯+anXn)=?。
- D(a1X1+a2X2+⋯+anXn)=a12DX1+a22DX2+⋯+an2DXnD(a_1X_1 + a_2X_2 + \cdots + a_nX_n) = a_1^2DX_1 + a_2^2DX_2 + \cdots + a_n^2DX_nD(a1X1+a2X2+⋯+anXn)=a12DX1+a22DX2+⋯+an2DXn
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对随机变量的标准化应该怎么进行?
- X∗=X−E(X)DXX^* = \frac{X - E(X)}{\sqrt{DX}}X∗=DXX−E(X)
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变异系数是什么?
- 我们知道方差是用来刻画数据的离散程度的,然而方差智能刻画数据离散程度大的绝对值,无法刻画相对值。
- 变异系数就是用来刻画离散程度的相对值。δX=D(X)E(X)\delta_X = \frac{\sqrt{D(X)}}{E(X)}δX=E(X)D(X)