概率论知识回顾(十七):方差

本文深入探讨概率论中的方差概念,解析其定义及计算公式,从离散随机变量到连续随机变量,覆盖密度函数与分布函数。通过具体实例,如二项分布、泊松分布等常见概率分布,展示方差的应用。同时,文章讨论了随机变量的独立性和标准化,以及变异系数的含义。

摘要生成于 C知道 ,由 DeepSeek-R1 满血版支持, 前往体验 >

概率论知识回顾(十七)

重点:方差

知识回顾用于巩固知识和查漏补缺。知识回顾步骤:

  1. 查看知识回顾中的问题,尝试自己解答
  2. 自己解答不出来的可以查看下面的知识解答巩固知识。
  3. 对知识解答有疑问的,说明有关这一点的知识或者公式没有理解透彻或者没有记住,要重新翻看书籍。

知识回顾

  1. 方差的定义是什么?从离散随机变量,密度函数,以及分布函数的角度求解方差公式。
  2. 证明 DX=E(X2)−(EX)2DX = E(X^2) - (EX)^2DX=E(X2)(EX)2
  3. 试列举一些常见的概率分布的方差。
  4. 如果,X1,X2,⋯ ,XnX_1, X_2,\cdots,X_nX1,X2,,Xn 相互独立,那么,D(a1X1+a2X2+⋯+anXn)=?D(a_1X_1 + a_2X_2 + \cdots + a_nX_n) = ?D(a1X1+a2X2++anXn)=?
  5. 对随机变量的标准化应该怎么进行?
  6. 变异系数是什么?

知识解答

  1. 方差的定义是什么?从离散随机变量,密度函数,以及分布函数的角度求解方差公式。

    • 设 X 是随机变量,如果 E[X−E(X)]2E[X - E(X)]^2E[XE(X)]2 存在,则称 E[X−E(X)]2E[X - E(X)]^2E[XE(X)]2 是随机变量 X 的方差。记为 D(X),DX,Var(X),VarXD(X), DX, Var(X), VarXD(X),DX,Var(X),VarX
    • DX={∑k=1+∞[xk−E(X)]2pkif X为离散变量∫−∞+∞[x−E(X)]2f(x)dxif f(x)为X的密度函数∫−∞+∞[x−E(X)]2dF(x)if F(x)为X的分布函数DX = \begin{cases}\sum_{k=1}^{+\infty}[x_k - E(X)]^2p_k & if \ X 为离散变量 \\ \int_{-\infty}^{+\infty}[x - E(X)]^2f(x)dx & if \ f(x)为X的密度函数 \\ \int_{-\infty}^{+\infty}[x - E(X)]^2dF(x) & if \ F(x) 为X的分布函数 \end{cases}DX=k=1+[xkE(X)]2pk+[xE(X)]2f(x)dx+[xE(X)]2dF(x)if Xif f(x)Xif F(x)X
  2. 证明 DX=E(X2)−(EX)2DX = E(X^2) - (EX)^2DX=E(X2)(EX)2

    DX=E[X−E(X)]2=E[X2−2XE(X)+(EX)2]=E(X2)−2E(X)E(X)+(EX)2=E(X2)−(EX)2\begin{aligned}DX &= E[X - E(X)]^2 \\ &=E[X^2 -2XE(X) + (EX)^2] \\ &= E(X^2) - 2E(X)E(X) + (EX)^2 \\ &= E(X^2) - (EX)^2 \end{aligned}DX=E[XE(X)]2=E[X22XE(X)+(EX)2]=E(X2)2E(X)E(X)+(EX)2=E(X2)(EX)2

    • 首先有一点应该明白,EXEXEX 是指随机变量的期望,也就是说它是一个实数,而我们知道 E(C)=CE(C) = CE(C)=C, 因此也就有 EEX=EXEEX = EXEEX=EX, 因此推导上面的公式应该首先要明白,那些是随机变量,那些是实数。
  3. 试列举一些常见的概率分布的方差。

    • X∼(0−1):DX=p(1−p)X \sim (0-1): DX = p(1-p)X(01):DX=p(1p)
    • X∼B(n,p):DX=np(1−p)X \sim B(n, p) : DX = np(1-p)XB(n,p):DX=np(1p)
    • X∼P(λ):DX=λX \sim P(\lambda) : DX = \lambdaXP(λ):DX=λ
    • 几何分布:DX=1−pp2几何分布:DX = \frac{1-p}{p^2}DX=p21p
    • X∼U(a,b):DX=(b−a)212X \sim U(a, b) : DX = \frac{(b-a)^2}{12}XU(a,b):DX=12(ba)2
    • X∼N(μ,σ2):DX=σ2X \sim N(\mu, \sigma^2) : DX = \sigma^2XN(μ,σ2):DX=σ2
    • X∼Γ(α,β):DX=αβ2X \sim \Gamma(\alpha, \beta) : DX = \frac{\alpha}{\beta^2}XΓ(α,β):DX=β2α
  4. 如果,X1,X2,⋯ ,XnX_1, X_2,\cdots,X_nX1,X2,,Xn 相互独立,那么,D(a1X1+a2X2+⋯+anXn)=?D(a_1X_1 + a_2X_2 + \cdots + a_nX_n) = ?D(a1X1+a2X2++anXn)=?

    • D(a1X1+a2X2+⋯+anXn)=a12DX1+a22DX2+⋯+an2DXnD(a_1X_1 + a_2X_2 + \cdots + a_nX_n) = a_1^2DX_1 + a_2^2DX_2 + \cdots + a_n^2DX_nD(a1X1+a2X2++anXn)=a12DX1+a22DX2++an2DXn
  5. 对随机变量的标准化应该怎么进行?

    • X∗=X−E(X)DXX^* = \frac{X - E(X)}{\sqrt{DX}}X=DXXE(X)
  6. 变异系数是什么?

    • 我们知道方差是用来刻画数据的离散程度的,然而方差智能刻画数据离散程度大的绝对值,无法刻画相对值。
    • 变异系数就是用来刻画离散程度的相对值。δX=D(X)E(X)\delta_X = \frac{\sqrt{D(X)}}{E(X)}δX=E(X)D(X)
评论
添加红包

请填写红包祝福语或标题

红包个数最小为10个

红包金额最低5元

当前余额3.43前往充值 >
需支付:10.00
成就一亿技术人!
领取后你会自动成为博主和红包主的粉丝 规则
hope_wisdom
发出的红包
实付
使用余额支付
点击重新获取
扫码支付
钱包余额 0

抵扣说明:

1.余额是钱包充值的虚拟货币,按照1:1的比例进行支付金额的抵扣。
2.余额无法直接购买下载,可以购买VIP、付费专栏及课程。

余额充值