概率论知识回顾（十六）：数学期望、中位数的一般化定义

概率论知识回顾（十六）

重点：数学期望、中位数的一般化定义

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知识回顾

1. 简单概述 $R-S$ 积分。
2. 简单概述数学期望的一般化定义。
3. 简述中位数定义及其优缺点。

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知识解答

1. 简单概述 $R-S$ 积分。
   • 定义：设 $g(x)$ 是定义在 $(a,b]$ 上的实函数，而 $F^{\ast }(x)$ 是定义在实数轴上的单调不减，右连续的实函数。（这个符合分布函数的一些定义）。取分点 $a=x_0<x_1<\cdots <x_n=b$, 从 $(x_{i-1},x_i)$ 中取一点 $x_{i-1}<{\tilde{x}}_i<x_i$ , 记 $\sigma ={\sum }_{i=1}^{n}g({\tilde{x}}_i)[F^{\ast }(x_i)-F^{\ast }(x_{i-1})]$ 。如果有 $\lambda ={\max }_{1\le i\le n}(x_i-x_{i-1})\to 0$ 以及 $\sigma$ 的极限存在，则称此极限为 $g(x)$ 在 $(a,b]$ 上关于函数 $F^{\ast }(x)$ 的 $R-S$ 积分。记为 ${\int }_a^{b}g(x)d{F}^{\ast }(x)$
   • 当然，当 $a\to -\infty ,b\to +\infty$ 的时候呢，$\sigma$ 的极限存在，就记为 $g(x)$ 在 $(-\infty ,+\infty )$ 上关于函数 $F^{\ast }(x)$ 的 $R-S$ 积分，记作 ${\int }_{-\infty }^{+\infty }g(x)d{F}^{\ast }(x)$
   • 另一方面,取 $F^{\ast }(x)为F(x)$, 假设 $F(x)$ 为分布函数，$f(x)$ 为密度函数，则有 $${\int }_a^{b}g(x)dF(x)={\int }_a^{b}g(x)f(x)dx$$。推广到 $-\infty ,+\infty$ 上和第二点类似。
   • 另外定义在 $(a,b]$ 上的 $R-S$ 积分是不包含 $a$ 点的 ，这个是需要严格区分的，因为就期望计算来说，由于就离散随机变量来说，在某点的概率不一定为零。
   • 性质
     • $\int_{a}^{b}[\alpha g_1(x) + \beta g_2(x)]dF^(x) = \alpha\int_{a}^{b}g_1(x) dF^(x) + \beta\int_{a}^{b} g_2(x)dF^*(x) $
     • ${\int }_a^{b}g(x)d[\alpha F_1^{\ast }(x)+\beta F_2^{\ast }(x)]=\alpha {\int }_a^{b}g(x)d{F}_1^{\ast }(x)+\beta {\int }_a^{b}g(x)d{F}_2^{\ast }(x)$
     • 当 $g(x)=1$ 时，$R-S$ 积分为 ∫abdF(x)=P{a&lt;x≤b}\int_a^bdF(x) = P\{a &lt; x \le b\}∫ab​dF(x)=P{a<x≤b}
       • 由这一个特性，我们就知道 P{X∈D}=∫DdF(x)P\{X \in D\} = \int_DdF(x)P{X∈D}=∫D​dF(x)
       • P{(X,Y)∈D}=∬DdF(x,y)P\{(X, Y) \in D\} = \iint_DdF(x, y)P{(X,Y)∈D}=∬D​dF(x,y)
2. 简单概述数学期望的一般化定义。
   • 首先我们来看看数学期望的定义 ${\sum }_i{p}_i{x}_i$,由于概率密度并不一定是都存在，而无论是离散随机变量函数连续随机变量 $p_i=F(x_i)-F(x_i-0)$
   • 我们来看看 $R-S$ 积分的形式：$\sigma ={\sum }_{i=1}^{n}g({\tilde{x}}_i)[F^{\ast }(x_i)-F^{\ast }(x_{i-1})]$, 当 $\lambda ={\max }_{1\le i\le n}(x_i-x_{i-1})\to 0$ 的时候，$F^{\ast }(x_i)-F^{\ast }(x_{i-1})=p_i$, 而当这里的 $g({\tilde{x}}_i)=x_i$ 的时候。就是我们数学期望的公式。
   • 因此我们有： 假设随机变量 $X$ 的分布函数为 $F(x)$ 如果有 ${\int }_{-\infty }^{+\infty }|x|dF(x)<+\infty$ 那么就定义 $E(X)={\int }_{-\infty }^{+\infty }xdF(x)$
   • 对于随机变量的函数的数学期望，就有 $$E(Y)=Eg(x)={\int }_{-\infty }^{+\infty }yd{F}_Y(y)={\int }_{-\infty }^{+\infty }g(x)dF(x)$$
   • 同理，对于n维随机变量，则有：如果 ${\int }_{-\infty }^{+\infty }\cdots {\int }_{-\infty }^{+\infty }|g(x_1,x_2,\cdots ,x_n)|dF(x_1,x_2,\cdots ,x_n)<+\infty$, 则 $Eg(x_1,\cdots ,x_n)={\int }_{-\infty }^{+\infty }\cdots {\int }_{-\infty }^{+\infty }g(x_1,x_2,\cdots ,x_n)dF(x_1,x_2,\cdots ,x_n)$
3. 简述中位数定义及其优缺点。
   • 对于中位数 $x$ 来说，有 P{X≤x}≥12,P{X≤x}≥12P\{X \le x\} \ge \frac 1 2, P\{X \le x\} \ge \frac 1 2P{X≤x}≥21​,P{X≤x}≥21​
   • 优点：不受数据中某些特别大或者特别小的值得影响，具有一些代表性
   • 缺点：
     • 没有数学期望那样的可计算性的性质，不利于在数学上的处理。只能单独表示某些属性。
     • 中位数可以不唯一，同时也可能是一个无意义的值。