概率论知识回顾(十二):连续性随机变量函数的密度函数

本文回顾了连续性随机变量函数的密度函数计算方法,包括直接法和分布函数法,讨论了在不同条件下的变化及应用。适用于巩固概率论知识,提升解题技巧。

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概率论知识回顾(十二)

重点:连续性随机变量函数的密度函数

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知识回顾

  1. 对于密度函数为 f(x)f(x)f(x) 的一维连续随机变量, 若 y=g(x)y = g(x)y=g(x)(−∞,+∞)(-\infty, + \infty)(,+) 上严格单调且可导,那么 Y=g(X)Y = g(X)Y=g(X) 的密度函数 fY(y)f_Y(y)fY(y)怎么表示?
  2. f(x)f(x)f(x) 在有限区间 [a, b] 以外等于 0, 那么 fY(y)f_Y(y)fY(y) 有什么变化?
  3. 对于随笔变量 XXX 的密度函数 f(x)f(x)f(x) 来说,其取值为 (a, b), 若把 (a, b) 分成有限或可数的两两不想交的子区间 <ai,bia_i, b_iai,bi>, 使得 y=g(x)y = g(x)y=g(x) 在每一个子区间上面严格单调可导,那么 Y=g(X)Y = g(X)Y=g(X) 的密度函数怎么表示?
  4. Y=g(X)Y = g(X)Y=g(X), XXX 的密度函数为 f(x)f(x)f(x), 那么用分布函数法求 fY(y)f_Y(y)fY(y) 该怎么求?

知识解答

  1. 对于密度函数为 f(x)f(x)f(x) 的一维连续随机变量, 若 y=g(x)y = g(x)y=g(x)(−∞,+∞)(-\infty, + \infty)(,+) 上严格单调且可导,那么 Y=g(X)Y = g(X)Y=g(X) 的密度函数 fY(y)f_Y(y)fY(y)怎么表示?
    • fY(y)={f[h(y)]∣h′(y)∣α≤x≤β0otherwisef_Y(y) = \begin{cases} f[h(y)]|h&#x27;(y)| &amp; \alpha\le x\le \beta \\ 0 &amp; otherwise \end{cases}fY(y)={f[h(y)]h(y)0αxβotherwise
    • 其中 h(y)h(y)h(y)g(x)g(x)g(x) 的反函数。 α=min⁡(g(−∞),g(+∞)),β=max⁡(g(−∞),g(+∞))\alpha = \min(g(-\infty), g(+\infty)), \beta = \max(g(-\infty), g(+\infty))α=min(g(),g(+)),β=max(g(),g(+))
  2. f(x)f(x)f(x) 在有限区间 [a, b] 以外等于 0, 那么 fY(y)f_Y(y)fY(y) 有什么变化?
    • 函数的定义没有什么变化,只是定义域 y 的范围有了变化。即 α=min⁡(g(a),g(b)),β=max⁡(g(a),g(b))\alpha = \min(g(a), g(b)), \beta = \max(g(a), g(b))α=min(g(a),g(b)),β=max(g(a),g(b))
  3. 对于随笔变量 XXX 的密度函数 f(x)f(x)f(x) 来说,其取值为 (a, b), 若把 (a, b) 分成有限或可数的两两不想交的子区间 <ai,bia_i, b_iai,bi>, 使得 y=g(x)y = g(x)y=g(x) 在每一个子区间上面严格单调可导,那么 Y=g(X)Y = g(X)Y=g(X) 的密度函数怎么表示?
    • fY(y)=∑kψk(y),−∞&lt;y&lt;+∞f_Y(y) = \sum_k\psi_k(y), -\infty &lt; y &lt; + \inftyfY(y)=kψk(y),<y<+
    • 其中:ψk(y)={f[hk(y)]∣hk′(y)∣,αk&lt;y&lt;βk0,otherwise\psi_k(y) = \begin{cases} f[h_k(y)]|h&#x27;_k(y)| , &amp; \alpha_k &lt; y &lt; \beta_k \\ 0, &amp; otherwise \end{cases}ψk(y)={f[hk(y)]hk(y),0,αk<y<βkotherwise
    • 其中 hk(y)h_k(y)hk(y)y=g(x)y = g(x)y=g(x) 在 <ak,bka_k, b_kak,bk> 上的反函数, αk=min⁡(g(ak),g(bk)),βk=max⁡(g(ak),g(bk))\alpha_k = \min(g(a_k), g(b_k)), \beta_k = \max(g(a_k), g(b_k))αk=min(g(ak),g(bk)),βk=max(g(ak),g(bk))
  4. Y=g(X)Y = g(X)Y=g(X), XXX 的密度函数为 f(x)f(x)f(x), 那么用分布函数法求 fY(y)f_Y(y)fY(y) 该怎么求?
    FY(y)=P{Y≤y}=P{Y≤g(x)}=P{X≤h(y)}=F(h(x))=∫−∞h(y)f(x)dx所以:fY(y)=f[h(y)]∣h(y)∣\begin{aligned} F_Y(y) &amp;= P\begin{Bmatrix} Y \le y \end{Bmatrix} \\ &amp;= P\begin{Bmatrix} Y \le g(x) \end{Bmatrix} \\ &amp;= P\begin{Bmatrix} X \le h(y) \end{Bmatrix} \\ &amp;= F(h(x)) \\ &amp;= \int_{-\infty}^{h(y)}f(x)dx \\ 所以:f_Y(y) = f[h(y)]|h(y)|\end{aligned}FY(y)fY(y)=f[h(y)]h(y)=P{Yy}=P{Yg(x)}=P{Xh(y)}=F(h(x))=h(y)f(x)dx
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