概率论知识回顾(十二)
重点:连续性随机变量函数的密度函数
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知识回顾
- 对于密度函数为 f(x)f(x)f(x) 的一维连续随机变量, 若 y=g(x)y = g(x)y=g(x) 在 (−∞,+∞)(-\infty, + \infty)(−∞,+∞) 上严格单调且可导,那么 Y=g(X)Y = g(X)Y=g(X) 的密度函数 fY(y)f_Y(y)fY(y)怎么表示?
- 若 f(x)f(x)f(x) 在有限区间 [a, b] 以外等于 0, 那么 fY(y)f_Y(y)fY(y) 有什么变化?
- 对于随笔变量 XXX 的密度函数 f(x)f(x)f(x) 来说,其取值为 (a, b), 若把 (a, b) 分成有限或可数的两两不想交的子区间 <ai,bia_i, b_iai,bi>, 使得 y=g(x)y = g(x)y=g(x) 在每一个子区间上面严格单调可导,那么 Y=g(X)Y = g(X)Y=g(X) 的密度函数怎么表示?
- 若 Y=g(X)Y = g(X)Y=g(X), XXX 的密度函数为 f(x)f(x)f(x), 那么用分布函数法求 fY(y)f_Y(y)fY(y) 该怎么求?
知识解答
- 对于密度函数为 f(x)f(x)f(x) 的一维连续随机变量, 若 y=g(x)y = g(x)y=g(x) 在 (−∞,+∞)(-\infty, + \infty)(−∞,+∞) 上严格单调且可导,那么 Y=g(X)Y = g(X)Y=g(X) 的密度函数 fY(y)f_Y(y)fY(y)怎么表示?
- fY(y)={f[h(y)]∣h′(y)∣α≤x≤β0otherwisef_Y(y) = \begin{cases} f[h(y)]|h'(y)| & \alpha\le x\le \beta \\ 0 & otherwise \end{cases}fY(y)={f[h(y)]∣h′(y)∣0α≤x≤βotherwise
- 其中 h(y)h(y)h(y) 为 g(x)g(x)g(x) 的反函数。 α=min(g(−∞),g(+∞)),β=max(g(−∞),g(+∞))\alpha = \min(g(-\infty), g(+\infty)), \beta = \max(g(-\infty), g(+\infty))α=min(g(−∞),g(+∞)),β=max(g(−∞),g(+∞))
- 若 f(x)f(x)f(x) 在有限区间 [a, b] 以外等于 0, 那么 fY(y)f_Y(y)fY(y) 有什么变化?
- 函数的定义没有什么变化,只是定义域 y 的范围有了变化。即 α=min(g(a),g(b)),β=max(g(a),g(b))\alpha = \min(g(a), g(b)), \beta = \max(g(a), g(b))α=min(g(a),g(b)),β=max(g(a),g(b))
- 对于随笔变量 XXX 的密度函数 f(x)f(x)f(x) 来说,其取值为 (a, b), 若把 (a, b) 分成有限或可数的两两不想交的子区间 <ai,bia_i, b_iai,bi>, 使得 y=g(x)y = g(x)y=g(x) 在每一个子区间上面严格单调可导,那么 Y=g(X)Y = g(X)Y=g(X) 的密度函数怎么表示?
- fY(y)=∑kψk(y),−∞<y<+∞f_Y(y) = \sum_k\psi_k(y), -\infty < y < + \inftyfY(y)=∑kψk(y),−∞<y<+∞
- 其中:ψk(y)={f[hk(y)]∣hk′(y)∣,αk<y<βk0,otherwise\psi_k(y) = \begin{cases} f[h_k(y)]|h'_k(y)| , & \alpha_k < y < \beta_k \\ 0, & otherwise \end{cases}ψk(y)={f[hk(y)]∣hk′(y)∣,0,αk<y<βkotherwise
- 其中 hk(y)h_k(y)hk(y) 为 y=g(x)y = g(x)y=g(x) 在 <ak,bka_k, b_kak,bk> 上的反函数, αk=min(g(ak),g(bk)),βk=max(g(ak),g(bk))\alpha_k = \min(g(a_k), g(b_k)), \beta_k = \max(g(a_k), g(b_k))αk=min(g(ak),g(bk)),βk=max(g(ak),g(bk))
- 若 Y=g(X)Y = g(X)Y=g(X), XXX 的密度函数为 f(x)f(x)f(x), 那么用分布函数法求 fY(y)f_Y(y)fY(y) 该怎么求?
FY(y)=P{Y≤y}=P{Y≤g(x)}=P{X≤h(y)}=F(h(x))=∫−∞h(y)f(x)dx所以:fY(y)=f[h(y)]∣h(y)∣\begin{aligned} F_Y(y) &= P\begin{Bmatrix} Y \le y \end{Bmatrix} \\ &= P\begin{Bmatrix} Y \le g(x) \end{Bmatrix} \\ &= P\begin{Bmatrix} X \le h(y) \end{Bmatrix} \\ &= F(h(x)) \\ &= \int_{-\infty}^{h(y)}f(x)dx \\ 所以:f_Y(y) = f[h(y)]|h(y)|\end{aligned}FY(y)所以:fY(y)=f[h(y)]∣h(y)∣=P{Y≤y}=P{Y≤g(x)}=P{X≤h(y)}=F(h(x))=∫−∞h(y)f(x)dx