概率论知识回顾(十):二维连续随机变量分布函数和联合密度函数

该博客是概率论知识回顾第十篇,重点围绕二维连续随机变量分布函数和联合密度函数。先介绍知识回顾步骤,接着列出回顾问题,如分布函数表示、性质等,随后给出对应解答,涵盖分布函数、边缘分布、联合密度函数等相关内容及公式。

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概率论知识回顾(十)

重点:二维连续随机变量分布函数和联合密度函数

知识回顾用于巩固知识和查漏补缺。知识回顾步骤:

  1. 查看知识回顾中的问题,尝试自己解答
  2. 自己解答不出来的可以查看下面的知识解答巩固知识。
  3. 对知识解答有疑问的,说明有关这一点的知识或者公式没有理解透彻或者没有记住,要重新翻看书籍。

知识回顾

  1. 二维连续随机变量的分布函数怎么表示?
  2. 分布函数有什么性质?
  3. 二维连续随机变量的边缘分布怎么表示?
  4. 二维连续随机变量的联合密度函数是什么?
  5. 联合密度函数有什么性质?
  6. 二维均匀分布的联合密度函数怎么表示?
  7. 二维正态分布的联合密度函数怎么表示?

知识解答

  1. 二维连续随机变量的分布函数怎么表示?
    • 对于二维连续随机变量 (X,Y)(X,Y)(X,Y) 来说,函数 F(x,y)F(x, y)F(x,y) 表示 F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}F(x, y) = P\begin{Bmatrix} X \le x, Y \le y\end{Bmatrix}F(x,y)=P{Xx,Yy} 我们就称 F(x,y)F(x,y)F(x,y) 为 二维连续随机变量 (X,Y)(X, Y)(X,Y) 的分布函数。
  2. 分布函数有什么性质?
    • 对每个自变量单调不减
      • 对任意固定 x, 当 y1&lt;y2y_1 &lt; y_2y1<y2, 有 F(x,y1)≤F(x,y2)F(x, y_1) \le F(x, y_2)F(x,y1)F(x,y2)
      • 对任意固定 y, 当 x1&lt;x2x_1 &lt; x_2x1<x2, 有 F(x1,y)≤F(x2,y)F(x_1, y) \le F(x_2, y)F(x1,y)F(x2,y)
    • 对每个自变量右连续
      • 对任意固定 x, F(x,y0+0)=F(x,y0)F(x, y_0 + 0) = F(x, y_0)F(x,y0+0)=F(x,y0)
      • 对任意固定 y, F(x0+0,y)=F(x0,y)F(x_0 + 0, y) = F(x_0, y)F(x0+0,y)=F(x0,y)
    • {F(−∞,−∞)=0F(x,−∞)=0∀x∈RF(−∞,y)=0∀y∈RF(+∞,+∞)=1\begin{cases} F(-\infty, -\infty) = 0 \\ F(x, -\infty) = 0 &amp;\forall x \in R \\ F(-\infty , y) = 0 &amp; \forall y \in R \\ F(+\infty, +\infty) = 1\end{cases}F(,)=0F(x,)=0F(,y)=0F(+,+)=1xRyR
    • 对任意 x1&lt;x2,y1&lt;y2x_1 &lt; x_2, y_1 &lt; y_2x1<x2,y1<y2 都有 : P{x1&lt;X≤x2,y1&lt;Y≤y2}=F(x2,y2)−F(x1,y2)−F(x2,y1)+F(x1,y1)≥0P\begin{Bmatrix} x_1&lt;X\le x_2, y_1&lt;Y \le y_2 \end{Bmatrix} = F(x_2, y_2) - F(x_1, y_2) - F(x_2, y_1) + F(x_1, y_1) \ge 0P{x1<Xx2,y1<Yy2}=F(x2,y2)F(x1,y2)F(x2,y1)+F(x1,y1)0
  3. 二维连续随机变量的边缘分布怎么表示?
    • 二维连续随机变量的边缘分布和离散随机变量的边缘分布类似,都是其组成的单个随机变量的分布律。
    • FX(x)=P{X≤x,Y&lt;+∞}=F(x,+∞)F_X(x) = P\begin{Bmatrix} X \le x, Y &lt; + \infty \end{Bmatrix}=F(x, +\infty)FX(x)=P{Xx,Y<+}=F(x,+) 表示 二维连续随机变量 (X,Y)(X, Y)(X,Y) 关于 XXX 的边缘分布律。从公式来看其实就是排除 Y 之后,只看 x 的分布。
    • 同理 FY=F(+∞,y)F_Y = F(+ \infty, y)FY=F(+,y)
  4. 二维连续随机变量的联合密度函数是什么?
    • 如果对于随机变量 (X,Y)(X, Y)(X,Y) 的分布函数 F(x,y)F(x, y)F(x,y) 的任意取值都有一个非负可积的函数 f(x,y)f(x, y)f(x,y) 使得 F(x)=∫−∞y∫−∞xf(u,v)dudvF(x) = \int_{-\infty}^y\int_{-\infty}^xf(u, v)dudvF(x)=yxf(u,v)dudv 。 就称 f(x,y)f(x, y)f(x,y) 为二维随机变量 (X,Y)(X, Y)(X,Y) 的联合密度函数。
  5. 联合密度函数有什么性质?
    • f(x,y)≥0f(x, y) \ge 0f(x,y)0
    • ∫−∞+∞∫−∞+∞f(x,y)dxdy=1\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}f(x, y)dxdy = 1++f(x,y)dxdy=1
    • 如果 f(x,y)f(x, y)f(x,y)(x,y)(x, y)(x,y) 处连续,则有 ∂2F(x,y)∂x∂y=f(x,y)\frac{\partial^2F(x, y)}{\partial x \partial y} = f(x, y)xy2F(x,y)=f(x,y)
    • 对于任何平面区域 GGG, 都有 P{(X,Y)∈G}=∬Gf(x,y)dxdyP\begin{Bmatrix}(X, Y) \in G\end{Bmatrix} = \iint_Gf(x, y)dxdyP{(X,Y)G}=Gf(x,y)dxdy
  6. 二维均匀分布的联合密度函数怎么表示?
    • SG=AS_G = ASG=A ,若密度函数 f(x,y)={1A,(x,y)∈G0,elsef(x, y) = \begin{cases} \frac{1}{A}, &amp; (x, y) \in G \\ 0, &amp; else \end{cases}f(x,y)={A1,0,(x,y)Gelse 则称为均匀分布。
  7. 二维正态分布的联合密度函数怎么表示?
    • f(x,y)=12πσ1σ21−ρ2e−12(1−ρ2)[(x−μ1)2σ12−2ρ(x−μ1)(y−μ2)σ1σ2+(y−μ2)2σ22]f(x, y) = \frac{1}{2\pi\sigma_1\sigma_2\sqrt{1-\rho^2}}e^{-\frac{1}{2(1-\rho^2)}[\frac{(x-\mu_1)^2}{\sigma_1^2} - 2\rho \frac{(x-\mu_1)(y - \mu_2)}{\sigma_1\sigma_2} + \frac{(y-\mu_2)^2}{\sigma_2^2}]}f(x,y)=2πσ1σ21ρ21e2(1ρ2)1[σ12(xμ1)22ρσ1σ2(xμ1)(yμ2)+σ22(yμ2)2]
    • 其中: σ1&gt;0,σ2&gt;0,∣ρ∣&lt;1\sigma_1 &gt; 0, \sigma_2 &gt; 0, |\rho| &lt; 1σ1>0,σ2>0,ρ<1
    • 记作 (X,Y)∼N(μ1,μ2,σ1,σ2,ρ)(X,Y) \sim N(\mu_1, \mu_2, \sigma_1, \sigma_2, \rho)(X,Y)N(μ1,μ2,σ1,σ2,ρ)
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