概率论知识回顾（十五）：变量函数的期望，期望的性质_连续型随机变量双期望公式证明-优快云博客

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该博客是概率论知识回顾，重点围绕变量函数的期望及期望的性质。先介绍知识回顾步骤，随后列出离散型、连续型、二维离散型、二维连续型随机变量函数的数学期望表示方法，证明了相关公式，还阐述了随机变量期望的性质。

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概率论知识回顾（十五）

重点：变量函数的期望，期望的性质

知识回顾用于巩固知识和查漏补缺。知识回顾步骤：

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知识回顾

离散型随机变量的函数的数学期望怎么表示？
连续型随机变量的函数的数学期望怎么表示？
证明 $\int_{0}^{+\infty}P\begin{Bmatrix} Y > y \end{Bmatrix}dy - \int_0^{+\infty}P\begin{Bmatrix} Y < -y \end{Bmatrix}dy$
二维离散型随机变量的函数的数学期望怎么表示？
二维连续型随机变量的函数的数学期望怎么表示？
随机变量期望的性质有哪些？

知识解答

离散型随机变量的函数的数学期望怎么表示？
- 设随机变量 $X$ 的分布律为 $P{X=xk}=pk,k=0,1,2,...P\begin{Bmatrix} X = x_k \end{Bmatrix} = p_k, k = 0, 1, 2,...$ 。对于 $g (X)$ 来说：如果 $g (x)$ 是实值单值函数并且 $∑k∣g(xk)∣pk<+∞\sum_k|g(x_k)|p_k < +\infty$ 则 $g (X)$ 的期望存在，并且 $\sum_kg(x_k)p_k$
连续型随机变量的函数的数学期望怎么表示？
- 设随机变量 $X$ 的密度函数为 $f (x)$ , 对于 $g (X)$ 来说：如果 g(x) 是实值单值函数并且 $∫−∞+∞∣g(x)∣f(x)dx<+∞\int_{-\infty}^{+\infty}|g(x)|f(x)dx < + \infty$ , 则 $g (X)$ 的期望存在，并且 $\int_{-\infty}^{+\infty}g(x)f(x)dx$
证明 $\int_{0}^{+\infty}P\begin{Bmatrix} Y > y \end{Bmatrix}dy - \int_0^{+\infty}P\begin{Bmatrix} Y < -y \end{Bmatrix}dy$ 。
- 首先推导前半部分
  
  $∫0+∞P{Y>y}dy=∫0+∞∫y+∞fY(x)dxdy=∫0+∞∫0xdyfY(x)dx=∫0+∞xfY(x)dx\int_{0}^{+\infty}P\begin{Bmatrix} Y > y \end{Bmatrix}dy \\ = \int_{0}^{+\infty} \int_{y}^{+\infty}f_Y(x)dxdy \\ = \int_{0}^{+\infty} \int_{0}^{x}dyf_Y(x)dx \\ = \int_{0}^{+\infty} xf_Y(x)dx$
- 同理后半部分
  
  $∫0+∞P{Y<−y}dy=∫0+∞∫−∞−yfY(x)dxdy=∫−∞0∫0−xdyfY(x)dx=−∫−∞0xfY(x)dx\int_{0}^{+\infty}P\begin{Bmatrix} Y < -y \end{Bmatrix}dy \\ = \int_{0}^{+\infty} \int_{-\infty}^{-y}f_Y(x)dxdy \\ = \int_{-\infty}^{0} \int_{0}^{-x}dyf_Y(x)dx \\ = -\int_{-\infty}^{0} xf_Y(x)dx$
- 因此有：
  
  $E(Y)=∫0+∞P{Y>y}dy−∫0+∞P{Y<−y}dy=∫0+∞xfY(x)dx−(−∫−∞0xfY(x)dx)=∫−∞+∞xfY(x)dx=E(Y)\begin{aligned}E(Y) &= \int_{0}^{+\infty}P\begin{Bmatrix} Y > y \end{Bmatrix}dy - \int_0^{+\infty}P\begin{Bmatrix} Y < -y \end{Bmatrix}dy \\&= \int_{0}^{+\infty} xf_Y(x)dx - ( -\int_{-\infty}^{0} xf_Y(x)dx) \\&= \int_{-\infty}^{+\infty}xf_Y(x)dx = E(Y)\end{aligned}$
- 根据这个定理可证明连续随机变量的数学期望公式。
二维离散型随机变量的函数的数学期望怎么表示？
- 设二维随机变量 $(X, Y)$ 的分布律为 $P{X=xi,Y=yj}=pij,i,j=0,1,2,...P\begin{Bmatrix} X = x_i, Y = y_j \end{Bmatrix} = p_{ij}, i,j = 0, 1, 2,...$ 对于 $g (X, Y)$ 来说，如果 $g (x, y)$ 是关于x, y实值单值函数,并且有 $∑i∑j∣g(xi,yj)∣pij<+∞\sum_{i}\sum_{j}|g(x_i, y_j)|p_{ij} < + \infty$ ，则其数学期望存在，并且 $\sum_{i}\sum_{j}g(x_i, y_j)p_{ij}$
二维连续型随机变量的函数的数学期望怎么表示？
- 设二维随机变量 $(X, Y)$ 的密度函数为 $f (x, y)$ 对于 $g (X, Y)$ 来说，如果 $g (x, y)$ 是关于x, y实值单值函数,并且有 $∫−∞+∞∣g(x,y)∣f(x,y)dxdy<+∞\int_{-\infty}^{+\infty}|g(x, y)|f(x, y)dxdy < +\infty$ ，则其数学期望存在，并且 $\int_{-\infty}^{+\infty}g(x, y)f(x, y)dxdy$
随机变量期望的性质有哪些？
- 对于常数， $E (C) = C$
- $E[∑i=1naiXi+b]=∑i=1naiE(Xi)+bE[\sum_{i=1}^na_iX_i + b] = \sum_{i=1}^{n}a_iE(X_i) + b$
- 如果 $X_1, X_2, ..., X_n$ 相互独立，那么
  
  $E(X1X2⋯Xn)=E(X1)E(X2)⋯E(Xn)E(X_1X_2\cdots X_n) = E(X_1)E(X_2)\cdots E(X_n)$