概率论知识回顾(十五):变量函数的期望,期望的性质

该博客是概率论知识回顾,重点围绕变量函数的期望及期望的性质。先介绍知识回顾步骤,随后列出离散型、连续型、二维离散型、二维连续型随机变量函数的数学期望表示方法,证明了相关公式,还阐述了随机变量期望的性质。

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概率论知识回顾(十五)

重点:变量函数的期望,期望的性质

知识回顾用于巩固知识和查漏补缺。知识回顾步骤:

  1. 查看知识回顾中的问题,尝试自己解答
  2. 自己解答不出来的可以查看下面的知识解答巩固知识。
  3. 对知识解答有疑问的,说明有关这一点的知识或者公式没有理解透彻或者没有记住,要重新翻看书籍。

知识回顾

  1. 离散型随机变量的函数的数学期望怎么表示?
  2. 连续型随机变量的函数的数学期望怎么表示?
  3. 证明 E(Y)=∫0+∞P{Y&gt;y}dy−∫0+∞P{Y&lt;−y}dyE(Y) = \int_{0}^{+\infty}P\begin{Bmatrix} Y &gt; y \end{Bmatrix}dy - \int_0^{+\infty}P\begin{Bmatrix} Y &lt; -y \end{Bmatrix}dyE(Y)=0+P{Y>y}dy0+P{Y<y}dy
  4. 二维离散型随机变量的函数的数学期望怎么表示?
  5. 二维连续型随机变量的函数的数学期望怎么表示?
  6. 随机变量期望的性质有哪些?

知识解答

  1. 离散型随机变量的函数的数学期望怎么表示?

    • 设随机变量 XXX 的分布律为P{X=xk}=pk,k=0,1,2,...P\begin{Bmatrix} X = x_k \end{Bmatrix} = p_k, k = 0, 1, 2,...P{X=xk}=pk,k=0,1,2,...。对于 g(X)g(X)g(X) 来说:如果 g(x)g(x)g(x) 是实值单值函数并且 ∑k∣g(xk)∣pk&lt;+∞\sum_k|g(x_k)|p_k &lt; +\inftykg(xk)pk<+g(X)g(X)g(X) 的期望存在,并且 Eg(X)=∑kg(xk)pkEg(X) = \sum_kg(x_k)p_kEg(X)=kg(xk)pk
  2. 连续型随机变量的函数的数学期望怎么表示?

    • 设随机变量 XXX 的密度函数为 f(x)f(x)f(x), 对于 g(X)g(X)g(X) 来说:如果 g(x) 是实值单值函数并且 ∫−∞+∞∣g(x)∣f(x)dx&lt;+∞\int_{-\infty}^{+\infty}|g(x)|f(x)dx &lt; + \infty+g(x)f(x)dx<+, 则 g(X)g(X)g(X) 的期望存在,并且 Eg(X)=∫−∞+∞g(x)f(x)dxEg(X) = \int_{-\infty}^{+\infty}g(x)f(x)dxEg(X)=+g(x)f(x)dx
  3. 证明 E(Y)=∫0+∞P{Y&gt;y}dy−∫0+∞P{Y&lt;−y}dyE(Y) = \int_{0}^{+\infty}P\begin{Bmatrix} Y &gt; y \end{Bmatrix}dy - \int_0^{+\infty}P\begin{Bmatrix} Y &lt; -y \end{Bmatrix}dyE(Y)=0+P{Y>y}dy0+P{Y<y}dy

    • 首先推导前半部分

      ∫0+∞P{Y&gt;y}dy=∫0+∞∫y+∞fY(x)dxdy=∫0+∞∫0xdyfY(x)dx=∫0+∞xfY(x)dx\int_{0}^{+\infty}P\begin{Bmatrix} Y &gt; y \end{Bmatrix}dy \\ = \int_{0}^{+\infty} \int_{y}^{+\infty}f_Y(x)dxdy \\ = \int_{0}^{+\infty} \int_{0}^{x}dyf_Y(x)dx \\ = \int_{0}^{+\infty} xf_Y(x)dx0+P{Y>y}dy=0+y+fY(x)dxdy=0+0xdyfY(x)dx=0+xfY(x)dx

    • 同理后半部分

      ∫0+∞P{Y&lt;−y}dy=∫0+∞∫−∞−yfY(x)dxdy=∫−∞0∫0−xdyfY(x)dx=−∫−∞0xfY(x)dx\int_{0}^{+\infty}P\begin{Bmatrix} Y &lt; -y \end{Bmatrix}dy \\ = \int_{0}^{+\infty} \int_{-\infty}^{-y}f_Y(x)dxdy \\ = \int_{-\infty}^{0} \int_{0}^{-x}dyf_Y(x)dx \\ = -\int_{-\infty}^{0} xf_Y(x)dx0+P{Y<y}dy=0+yfY(x)dxdy=00xdyfY(x)dx=0xfY(x)dx

    • 因此有:

      E(Y)=∫0+∞P{Y&gt;y}dy−∫0+∞P{Y&lt;−y}dy=∫0+∞xfY(x)dx−(−∫−∞0xfY(x)dx)=∫−∞+∞xfY(x)dx=E(Y)\begin{aligned}E(Y) &amp;= \int_{0}^{+\infty}P\begin{Bmatrix} Y &gt; y \end{Bmatrix}dy - \int_0^{+\infty}P\begin{Bmatrix} Y &lt; -y \end{Bmatrix}dy \\&amp;= \int_{0}^{+\infty} xf_Y(x)dx - ( -\int_{-\infty}^{0} xf_Y(x)dx) \\&amp;= \int_{-\infty}^{+\infty}xf_Y(x)dx = E(Y)\end{aligned}E(Y)=0+P{Y>y}dy0+P{Y<y}dy=0+xfY(x)dx(0xfY(x)dx)=+xfY(x)dx=E(Y)

    • 根据这个定理可证明连续随机变量的数学期望公式。

  4. 二维离散型随机变量的函数的数学期望怎么表示?

    • 设二维随机变量 (X,Y)(X, Y)(X,Y) 的分布律为 P{X=xi,Y=yj}=pij,i,j=0,1,2,...P\begin{Bmatrix} X = x_i, Y = y_j \end{Bmatrix} = p_{ij}, i,j = 0, 1, 2,...P{X=xi,Y=yj}=pij,i,j=0,1,2,... 对于 g(X,Y)g(X, Y)g(X,Y) 来说,如果 g(x,y)g(x, y)g(x,y) 是关于x, y实值单值函数,并且有 ∑i∑j∣g(xi,yj)∣pij&lt;+∞\sum_{i}\sum_{j}|g(x_i, y_j)|p_{ij} &lt; + \inftyijg(xi,yj)pij<+ ,则其数学期望存在,并且 Eg(X,Y)=∑i∑jg(xi,yj)pijEg(X, Y) = \sum_{i}\sum_{j}g(x_i, y_j)p_{ij}Eg(X,Y)=ijg(xi,yj)pij
  5. 二维连续型随机变量的函数的数学期望怎么表示?

    • 设二维随机变量 (X,Y)(X, Y)(X,Y) 的密度函数为 f(x,y)f(x, y)f(x,y) 对于 g(X,Y)g(X, Y)g(X,Y) 来说,如果 g(x,y)g(x, y)g(x,y) 是关于x, y实值单值函数,并且有 ∫−∞+∞∣g(x,y)∣f(x,y)dxdy&lt;+∞\int_{-\infty}^{+\infty}|g(x, y)|f(x, y)dxdy &lt; +\infty+g(x,y)f(x,y)dxdy<+ ,则其数学期望存在,并且 Eg(X,Y)=∫−∞+∞g(x,y)f(x,y)dxdyEg(X, Y) = \int_{-\infty}^{+\infty}g(x, y)f(x, y)dxdyEg(X,Y)=+g(x,y)f(x,y)dxdy
  6. 随机变量期望的性质有哪些?

    • 对于常数,E(C)=CE(C) = CE(C)=C

    • E[∑i=1naiXi+b]=∑i=1naiE(Xi)+bE[\sum_{i=1}^na_iX_i + b] = \sum_{i=1}^{n}a_iE(X_i) + bE[i=1naiXi+b]=i=1naiE(Xi)+b

    • 如果 X1,X2,...,XnX_1, X_2, ..., X_nX1,X2,...,Xn 相互独立,那么

      E(X1X2⋯Xn)=E(X1)E(X2)⋯E(Xn)E(X_1X_2\cdots X_n) = E(X_1)E(X_2)\cdots E(X_n)E(X1X2Xn)=E(X1)E(X2)E(Xn)

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