期望基本概念和性质

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期望

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本文介绍了数学期望的两种形式——离散型和连续型，并通过概率密度函数阐述其定义。同时，总结了期望的基本性质，如线性和乘积性质，以及这些性质在实际问题中的应用，例如多个独立事件期望的计算。

数学期望有两种表示方法，分别是离散型和连续型

离散型

最开始接触数学期望应该就是这种表示方法
我们知道，期望的定义是 $E(x)=∑i=1nxip(xi)E(x)=\sum_{i=1}^n x_ip(x_i)$ ，即每个值 $x_i$ 乘上他出现的概率 $p(x_i)$
那么，我们可以用 $n$ 个点 $x_i,p(x_i))$ 来表示

连续型

我们定义一个概率密度函数 $f (x)$ ，其中需要满足对于任意的 $a < b$ 满足
$∫abf(x)d⁡x=p(a,b)\int_{a}^{b}f(x)\operatorname{d}x=p(a,b)$
其中 $p (a, b)$ 表示出现在 $[a, b]$ 内的概率
那么我们定义
$E(x)=∫−∞∞xf(x)d⁡xE(x)=\int_{-\infty}^{\infty}xf(x)\operatorname{d}x$
就表示整个问题的期望
这个方法同样可以扩展到两个及以上的变量

期望的性质

设 $X, Y$ 为两个独立的事件， $C$ 是常数，则有
1. $E (C) = C$ ，证明是显然的
2. $E (X + Y) = E (X) + E (Y)$
证明：
设 $x, y$ 的概率密度函数为 $f (x, y)$
$\begin{aligned} E(X+Y)&=\iint_{-\infty}^{\infty}(x+y)f(x,y)\operatorname{d}x\operatorname{d}y\\ &=\iint_{-\infty}^{\infty}xf(x,y)\operatorname{d} x\operatorname{d} y+\iint_{-\infty}^{\infty}yf(x,y)\operatorname{d} x\operatorname{d} y \\ &=E(X)+E(Y) \end{aligned}$

他的意义就是，两个事件合并到一起的期望等于两个事件的期望之和
比如说扔一个骰子的期望是 $3.5$ ，那么扔两个骰子的期望就是 $7$

3. $E (X Y) = E (X) E (Y)$
证明：
设 $x$ 的概率密度函数为 $f (x)$ ， $y$ 的概率密度函数为 $g (y)$ ，因为 $X, Y$ 相互独立，所以 $f (x, y) = f (x) g (y)$
$\begin{aligned} E(XY)&=\iint_{-\infty}^{\infty}xyf(x)g(y)\operatorname{d} x\operatorname{d} y\\ &=\int_{-\infty}^{\infty}yg(y)(\int_{-\infty}^{\infty}xf(x)\operatorname{d} x)\operatorname{d} y\\ &=\int_{-\infty}^{\infty}yg(y)E(X)\operatorname{d}y\\ &=E(X)\int_{-\infty}^{\infty}yg(y)\operatorname{d}y \\ &=E(X)E(Y) \end{aligned}$
实际意义就是扔两个骰子的点数乘起来等于分别算出来再乘起来就是 $3.5^2$