概率论知识回顾(十四):离散与连续随机变量的期望

该博客是概率论知识回顾(十四),重点围绕离散与连续随机变量的期望。先介绍知识回顾步骤,包括自行解答问题、查看解答巩固及重新翻书等。接着列出离散和连续随机变量期望的表示、存在条件,还给出二项、泊松等分布的期望公式。

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概率论知识回顾(十四)

重点:离散与连续随机变量的期望

知识回顾用于巩固知识和查漏补缺。知识回顾步骤:

  1. 查看知识回顾中的问题,尝试自己解答
  2. 自己解答不出来的可以查看下面的知识解答巩固知识。
  3. 对知识解答有疑问的,说明有关这一点的知识或者公式没有理解透彻或者没有记住,要重新翻看书籍。

知识回顾

  1. 离散型随机变量 XXX 的期望怎么表示?什么时候期望存在?什么时候期望不存在?
  2. 二项分布,泊松分布,几何分布以及负二项分布它们的期望分别是什么?
  3. 连续性随机变量 XXX 的期望怎么表示?什么时候期望存在?什么时候期望不存在?
  4. 均匀分布,Γ\GammaΓ 分布,指数分布以及正太分布的期望分别是什么?

知识解答

  1. 离散型随机变量 XXX 的期望怎么表示?什么时候期望存在?什么时候期望不存在?

    • 对于随机变量 X,P{X=xk}=pkX, P\begin{Bmatrix} X = x_k \end{Bmatrix} = p_kXP{X=xk}=pk 来说, 它的期望为 :E(X)=∑kpkxkE(X) = \sum_kp_kx_kE(X)=kpkxk
      • E(X)E(X)E(X) 绝对收敛的时候期望存在。
      • E(X)E(X)E(X) 发散的时候期望不存在。
  2. 二项分布,泊松分布,几何分布以及负二项分布它们的期望分别是什么?

    • 二项分布 X∼B(n,p)X \sim B(n, p)XB(n,p)
      • P{X=k}=Cnkpk(1−p)n−k,k=0,1,2,…P\begin{Bmatrix} X = k \end{Bmatrix} = C_n^kp^k(1-p)^{n-k}, k = 0, 1, 2,\dotsP{X=k}=Cnkpk(1p)nk,k=0,1,2,
      • E(X)=npE(X) = npE(X)=np
    • 泊松分布 X∼P(λ)X \sim P(\lambda)XP(λ)
      • P{X=k}=λke−λk!,k=0,1,2,...P\begin{Bmatrix} X = k \end{Bmatrix} = \frac{\lambda^{k}e^{-\lambda}}{k!}, k = 0, 1, 2,...P{X=k}=k!λkeλ,k=0,1,2,...
      • E(X)=λE(X) = \lambdaE(X)=λ
    • 几何分布
      • P{X=k}=Cn−1k−1pk(1−p)n−k,k=1,2,...P\begin{Bmatrix} X = k \end{Bmatrix} = C_{n-1}^{k-1}p^k(1-p)^{n-k}, k = 1, 2, ...P{X=k}=Cn1k1pk(1p)nk,k=1,2,...
      • E(X)=1pE(X) = \frac{1}{p}E(X)=p1
    • 负二项分布
      • P{X=k}=Cr−1k−1pr(1−p)k−r,k=r,r+1,r+2,...P\begin{Bmatrix} X = k \end{Bmatrix} = C_{r-1}^{k-1}p^r(1-p)^{k-r}, k = r, r+1, r+2, ...P{X=k}=Cr1k1pr(1p)kr,k=r,r+1,r+2,...
      • E(X)=rpE(X) = \frac{r}{p}E(X)=pr
  3. 连续性随机变量 XXX 的期望怎么表示?什么时候期望存在?什么时候期望不存在?

    • 对于连续性随机变量 XXX 来说,假设 f(x)f(x)f(x)XXX 的密度函数,那么它的期望是: E(X)=∫−∞+∞xf(x)dxE(X) = \int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)dxE(X)=+xf(x)dx
      • 和离散型随机变量相似。
      • E(X)E(X)E(X) 绝对收敛的时候期望存在。
      • E(X)E(X)E(X) 发散的时候期望不存在。
  4. 均匀分布,Γ\GammaΓ 分布,指数分布以及正态分布的期望分别是什么?

    • 均匀分布 X∼U(a,b)X \sim U(a, b)XU(a,b)

      • f(x)={1b−aa≤x≤b0otherwisef(x) = \begin{cases}\frac{1}{b-a} & a\le x \le b \\ 0 & otherwise\end{cases}f(x)={ba10axbotherwise
      • E(X)=a+b2E(X) = \frac{a+b}{2}E(X)=2a+b
    • Γ\GammaΓ 分布 X∼Γ(α,β)X \sim \Gamma(\alpha, \beta)XΓ(α,β)

      • f(x)={βαΓ(α)xα−1e−βxx>00x≤0f(x) = \begin{cases} \frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)}x^{\alpha -1}e^{-\beta x} & x > 0 \\ 0 & x \le 0\end{cases}f(x)={Γ(α)βαxα1eβx0x>0x0

        Γ(α)=∫0+∞tα−1e−tdt\Gamma(\alpha) = \int_{0}^{+\infty}t^{\alpha-1}e^{-t}dtΓ(α)=0+tα1etdt

      • E(X)=αβE(X) = \frac{\alpha}{\beta}E(X)=βα

    • 指数分布 X∼Γ(1,λ)X \sim \Gamma(1, \lambda)XΓ(1,λ)

      • f(x)={λe−λxx>00x≤0f(x) = \begin{cases} \lambda e^{-\lambda x} & x > 0 \\ 0 & x \le 0\end{cases}f(x)={λeλx0x>0x0
      • E(X)=1λE(X) = \frac{1}{\lambda}E(X)=λ1
    • 正态分布 X∼N(μ,σ2)X \sim N(\mu, \sigma^2)XN(μ,σ2)

      • f(x)=12πσe−(x−μ)22σ2f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}f(x)=2πσ1e2σ2(xμ)2
      • E(X)=μE(X) = \muE(X)=μ
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