概率论知识回顾(十四)
重点:离散与连续随机变量的期望
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知识回顾
- 离散型随机变量 XXX 的期望怎么表示?什么时候期望存在?什么时候期望不存在?
- 二项分布,泊松分布,几何分布以及负二项分布它们的期望分别是什么?
- 连续性随机变量 XXX 的期望怎么表示?什么时候期望存在?什么时候期望不存在?
- 均匀分布,Γ\GammaΓ 分布,指数分布以及正太分布的期望分别是什么?
知识解答
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离散型随机变量 XXX 的期望怎么表示?什么时候期望存在?什么时候期望不存在?
- 对于随机变量 X,P{X=xk}=pkX, P\begin{Bmatrix} X = x_k \end{Bmatrix} = p_kX,P{X=xk}=pk 来说, 它的期望为 :E(X)=∑kpkxkE(X) = \sum_kp_kx_kE(X)=∑kpkxk
- 当 E(X)E(X)E(X) 绝对收敛的时候期望存在。
- 当 E(X)E(X)E(X) 发散的时候期望不存在。
- 对于随机变量 X,P{X=xk}=pkX, P\begin{Bmatrix} X = x_k \end{Bmatrix} = p_kX,P{X=xk}=pk 来说, 它的期望为 :E(X)=∑kpkxkE(X) = \sum_kp_kx_kE(X)=∑kpkxk
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二项分布,泊松分布,几何分布以及负二项分布它们的期望分别是什么?
- 二项分布 X∼B(n,p)X \sim B(n, p)X∼B(n,p)
- P{X=k}=Cnkpk(1−p)n−k,k=0,1,2,…P\begin{Bmatrix} X = k \end{Bmatrix} = C_n^kp^k(1-p)^{n-k}, k = 0, 1, 2,\dotsP{X=k}=Cnkpk(1−p)n−k,k=0,1,2,…
- E(X)=npE(X) = npE(X)=np
- 泊松分布 X∼P(λ)X \sim P(\lambda)X∼P(λ)
- P{X=k}=λke−λk!,k=0,1,2,...P\begin{Bmatrix} X = k \end{Bmatrix} = \frac{\lambda^{k}e^{-\lambda}}{k!}, k = 0, 1, 2,...P{X=k}=k!λke−λ,k=0,1,2,...
- E(X)=λE(X) = \lambdaE(X)=λ
- 几何分布
- P{X=k}=Cn−1k−1pk(1−p)n−k,k=1,2,...P\begin{Bmatrix} X = k \end{Bmatrix} = C_{n-1}^{k-1}p^k(1-p)^{n-k}, k = 1, 2, ...P{X=k}=Cn−1k−1pk(1−p)n−k,k=1,2,...
- E(X)=1pE(X) = \frac{1}{p}E(X)=p1
- 负二项分布
- P{X=k}=Cr−1k−1pr(1−p)k−r,k=r,r+1,r+2,...P\begin{Bmatrix} X = k \end{Bmatrix} = C_{r-1}^{k-1}p^r(1-p)^{k-r}, k = r, r+1, r+2, ...P{X=k}=Cr−1k−1pr(1−p)k−r,k=r,r+1,r+2,...
- E(X)=rpE(X) = \frac{r}{p}E(X)=pr
- 二项分布 X∼B(n,p)X \sim B(n, p)X∼B(n,p)
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连续性随机变量 XXX 的期望怎么表示?什么时候期望存在?什么时候期望不存在?
- 对于连续性随机变量 XXX 来说,假设 f(x)f(x)f(x) 是 XXX 的密度函数,那么它的期望是: E(X)=∫−∞+∞xf(x)dxE(X) = \int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)dxE(X)=∫−∞+∞xf(x)dx
- 和离散型随机变量相似。
- 当 E(X)E(X)E(X) 绝对收敛的时候期望存在。
- 当 E(X)E(X)E(X) 发散的时候期望不存在。
- 对于连续性随机变量 XXX 来说,假设 f(x)f(x)f(x) 是 XXX 的密度函数,那么它的期望是: E(X)=∫−∞+∞xf(x)dxE(X) = \int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)dxE(X)=∫−∞+∞xf(x)dx
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均匀分布,Γ\GammaΓ 分布,指数分布以及正态分布的期望分别是什么?
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均匀分布 X∼U(a,b)X \sim U(a, b)X∼U(a,b)
- f(x)={1b−aa≤x≤b0otherwisef(x) = \begin{cases}\frac{1}{b-a} & a\le x \le b \\ 0 & otherwise\end{cases}f(x)={b−a10a≤x≤botherwise
- E(X)=a+b2E(X) = \frac{a+b}{2}E(X)=2a+b
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Γ\GammaΓ 分布 X∼Γ(α,β)X \sim \Gamma(\alpha, \beta)X∼Γ(α,β)
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f(x)={βαΓ(α)xα−1e−βxx>00x≤0f(x) = \begin{cases} \frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)}x^{\alpha -1}e^{-\beta x} & x > 0 \\ 0 & x \le 0\end{cases}f(x)={Γ(α)βαxα−1e−βx0x>0x≤0
Γ(α)=∫0+∞tα−1e−tdt\Gamma(\alpha) = \int_{0}^{+\infty}t^{\alpha-1}e^{-t}dtΓ(α)=∫0+∞tα−1e−tdt
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E(X)=αβE(X) = \frac{\alpha}{\beta}E(X)=βα
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指数分布 X∼Γ(1,λ)X \sim \Gamma(1, \lambda)X∼Γ(1,λ)
- f(x)={λe−λxx>00x≤0f(x) = \begin{cases} \lambda e^{-\lambda x} & x > 0 \\ 0 & x \le 0\end{cases}f(x)={λe−λx0x>0x≤0
- E(X)=1λE(X) = \frac{1}{\lambda}E(X)=λ1
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正态分布 X∼N(μ,σ2)X \sim N(\mu, \sigma^2)X∼N(μ,σ2)
- f(x)=12πσe−(x−μ)22σ2f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}f(x)=2πσ1e−2σ2(x−μ)2
- E(X)=μE(X) = \muE(X)=μ
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