概率论知识回顾（四）：事件独立性、贝努利概型

概率论知识回顾（四）

重点：事件独立性、贝努利概型

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知识回顾

1. 什么是独立事件？怎么解释？
2. 若事件A、B相互独立。请证明 $A,\overline{B}$ 也是相互独立的。
3. 若事件A、B是相互独立的，那么A、B相容吗？为什么？
4. 三个事件相互独立的条件是什么？
5. n个事件相互独立的条件是什么？
6. 独立性在现实中要怎么应用？
7. 什么是n重贝努利概型？
8. n重贝努利概型状态A恰好出现k次的概率怎么表示？

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知识解答

1. 什么是独立事件？怎么解释？

   • 对于两个事件A、B来说，B出现的概率不会影响到A出现的概率，也就是说 $P(A)=P(A|B)$
   • 因此有 $P(AB)=P(A|B)P(B)=P(A)P(B)$
   • 同时也可知道 $P(B)=P(B|A)$
   • 也就是说独立性是相互的，A与B相互独立，那么B与A也是相互独立的。

2. 若事件A、B相互独立。请证明 $A,\overline{B}$ 也是相互独立的。

   • 证明：

     $$\begin{gathered} \because B\cup \overline{B}=\Omega \\ \therefore A=A\cap (B\cup \overline{B})=AB\cup A\overline{B} \\ \because AB\cap A\overline{B}=\varnothing \\ \therefore P(A)=P(AB)+P(A\overline{B})=P(A)P(B)+P(A\overline{B}) \\ \therefore P(A\overline{B})=P(A)(1-P(B))=P(A)P(\overline{B}) \\ 证毕 \end{gathered}$$

3. 若事件A、B是相互独立的，那么A、B相容吗？为什么？

   • 如果 A 与 B 至少有一个是 $\varnothing$ ,那么可知他们一定是相容的。
   • 如果 A 与 B 都不为 $\varnothing$，那么 $P(A)P(B)>0$, 如果 A与B 不相容，那么可知 P(AB) = 0。则 $P(AB)̸=P(A)P(B)$
   • 综上所述，A与B 一定是相容的。
   • 但是如果A B是相容的，不一定就是独立的。

4. 三个事件相互独立的条件是什么？

   • 对于三个事件 A、B、C 来说：

     $$\{\begin{array}{l}P(AB)=P(A)P(B)\\ P(BC)=P(B)P(C)\\ P(AC)=P(A)P(C)\\ P(ABC)=P(A)P(B)P(C)\end{array}$$

     上面四项必须同时成立才行，因为即便前三个公式成立，却不能保证 $P(ABC)=P(A)P(B)P(C)$

5. n个事件相互独立的条件是什么？

   • 对于$\forall k,0<k<n$ , $\forall 1\le i_1<i_2<\cdots <i_k\le n$ 来说 有：

     $$P(A_{i_1}{A}_{i_2}\cdots A_{i_k})=P(A_{i_1})P(A_{i_2})\cdots P(A_{i_k})$$ : 根据排列组合有 $C_n^k$个公式。

     因此上面的公式要成立的话，就需要 :$C_n^2+C_n^3+\cdots +C_n^n=2^n-n-1$ 个公式成立。

6. 独立性在现实中要怎么应用？

   • 事件之间的独立性凭借直觉来说很难判断是否独立，一般来说需要有数学计算进行验证
   • 但现实生活中的某些随机事件我们可以等价为独立事件来进行计算。比如有放回的抽样

7. 什么是n重贝努利概型？

   • 每一次试验 E 出现的情况只有两种$A,\overline{A}$。并且一种出现的概率为p(0<p<1), 另一种出现的概率为1-p.
   • 对上述试验重复进行n次，即n重贝努利概型。

8. n重贝努利概型状态A恰好出现k次的概率怎么表示？

   • $P_n(k)=C_n^k{p}^k(1-p{)}^{n-k}$
   • 其中 p 为状态A出现的概率。