概率论知识回顾（三）：事件域，条件概率，全概率，贝叶斯概率

概率论知识回顾（三）

关键点：事件域，条件概率，全概率，贝叶斯概率

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知识回顾

1. 什么是事件域？事件域的公理有哪几点？用语言和公式加以描述。
2. 概率公理有那三点？它和概率条件有什么不同？
3. 条件概率公式是什么？怎么解释？
4. 条件概率的一般推导公式是什么？即 $P(A_1{A}_2\cdots A_n)=?$
5. 全概率公式是什么？请写出基本推导公式？
6. 贝叶斯概率公式是什么？简单证明。
7. 根据条件概率求解的关键点是什么？

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知识解答

1. 什么是事件域？事件域的公理有哪几点？用语言和公式加以描述。

   • 对于样本空间 Ω 来说，他的所有事件子集构成的集合$\mathcal{F}$称为Ω的事件域。因此可知事件域的元素是事件，也就是集合。
   • 事件域公理有三点：
     • $\Omega \in \mathcal{F}$ : 也就是说整个样本空间也是事件域中的一个事件，我们知道这个是必然事件
     • $\forall A_i\in \mathcal{F}$ 都有 可列和 ${\bigcup }_{i=1}^{\infty }{A}_i\in \mathcal{F}$ : 事件域中的事件的和事件也是事件并且也属于事件域。（毕竟 $\bigcup A_i\subseteq \Omega$）
     • 若 $A\in \mathcal{F}$ 则 $\overline{A}\in \mathcal{F}$ : 若A是事件，则$\overline{A}$ 也是事件。

2. 概率公理有那三点？它和概率条件有什么不同？

   • 非负性：$P(A)\ge 0,\forall A\in \mathcal{F}$
   • 规范性：$P(\Omega )=1$
   • 可列可加性 : 若 $A_j\in \mathcal{F},j=1,2,\cdots ,A_i{A}_j=\varnothing ,i̸=j$ 则：$P({\bigcup }_{j=1}^{\infty }{A}_j)={\sum }_{j=1}^{\infty }P(A_j)$
   • 和概率条件不同的地方即把$A_i\subseteq \Omega$ 改成了 $A_i\in \mathcal{F}$ 。其实它们是同一个意思。

3. 条件概率公式是什么？怎么解释？

   • $P(B)>0$ 时 $P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}$
   • P(A|B)表示B发生时A发生的概率。换个思路，暂时忽略掉全局样本空间Ω。就是求在B中A发生的概率。就是A在B中的大小除以B的大小。那古典概型来说即$P(A|B)=\frac{n_{AB}}{n_B}$ 这是，再加上基本事件总数，即变为$P(A|B)=\frac{n_{AB}/n_{\Omega }}{n_B/n_{\Omega }}=\frac{P(AB)}{P(B)}$

4. 条件概率的一般推导公式是什么？即 $P(A_1{A}_2\cdots A_n)=?$

   $$P(A_1{A}_2\cdots A_n)=P(A_n|A_1{A}_2\cdots A_{n-1})P(A_{n-1}|A_1{A}_2\cdots A_{n-2})\cdots P(A_2|A_1)P(A_1)$$

5. 全概率公式是什么？请写出基本推导公式？

   • 如果$B_i$两两互不相容，并且${\bigcup }_{i=1}^{\infty }{B}_i=\Omega$ 则有：$$P(A)=\sum _{i=1}^{\infty }P(B_i)P(A|B_i)$$
   • 证明：
     • 根据条件概率公式， 有$P(B_i)P(A|B_i)=P(A{B}_i)$
     • 又因为$B_i$两两互不相容，因此可知 $\sum P(A{B}_i)=P(A{\bigcup }_{i=1}^{\infty }{B}_i)$
     • 又因为 ${\bigcup }_{i=1}^{\infty }{B}_i=\Omega$ 可知 $P(A{\bigcup }_{i=1}^{\infty }{B}_i)=P(A\Omega )=P(A)$ 证毕。

6. 贝叶斯概率公式是什么？简单证明。

   • 如果$B_i$两两互不相容，并且${\bigcup }_{i=1}^{\infty }{B}_i=\Omega$ 则有：$$P(B_i|A)=\frac{P(B_i)P(A|B_i)}{{\sum }_{i=1}^{\infty }P(B_i)P(A|B_i)}$$
   • 证明：
     • 首先根据条件概率公式 $P(B_i)P(A|B_i)=P(A{B}_i)$
     • 其次，根据全概率公式，有 ${\sum }_{i=1}^{\infty }P(B_i)P(A|B_i)=P(A)$
     • 而 $\frac{P(A{B}_i)}{P(A)}=P(B_i|A)$ 证毕。

7. 根据条件概率求解的关键点是什么？

   • 求解条件概率有关问题（包括但不限于简单条件概率，全概率，贝叶斯概率）的关键是找到对应的条件概率，对于每一种事件的概率和条件概率要寻找正确，并且要确定问题是否是独立重复概率还是条件概率。