8. 事件独立性

事件独立性

例 1： 有 10 件产品，其中 8 件为正品，2 件次品。从中取 2 次,每次取 1 件。（1）采用不放回抽样,（2）采用放回抽样。

解： 设 A i = { 第 i 次 取 到 正 品 } , i = 1 , 2. 比 较 P ( A 2 ∣ A 1 ) 与 P ( A 2 ) . A_i=\{第 i 次取到正品\}, i=1,2. 比较 P(A_2|A_1) 与 P(A_2). Ai​={第i次取到正品},i=1,2.比较P(A2​∣A1​)与P(A2​).

不放回抽样时, $P(A_2|A_1)=\frac{7}{9}\ne P(A_2)=\frac{8}{10}$

放回抽样时， $P(A_2|A_1)=\frac{8}{10}=P(A_2)$

因此，放回抽样时，$A_1$ 的发生对 $A_2$ 的发生概率不影响。

$P(A_2|A_1)=P(A_2)⟹P(A_1{A}_2)=P(A_1)P(A_2)$.

还可以得到 $P(A_1|A_2)=\frac{P(A_1)P(A_2)}{P(A_2)}=P(A_1)$.

即 $A_2$ 的发生对 $A_1$ 的发生概率也不影响。

这就是事件 $A_1$ 与 $A_2$ 相互独立。

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定义： 设 $A，B$ 是两随机事件，如果 $P(AB)=P(A)P(B)$， 则称 $A，B$ 相互独立。

之所以用上述方式定义，一是因为 $A$ 与 $B$ 的对称性，二是不需要条件概率存在的条件，即事件的概率可以为 0。

若 $P(A)>0，P(B)>0$,

则 $P(AB)=P(A)P(B)$

等价于 $P(B|A)=P(B)$

也等价于 $P(A|B)=P(A)$

直观来看，若 $A$ 与 $B$ 相互独立，则不论 $A$ 是否发生，都不能提供 $B$ 是否发生的信息，反之也是。下面的性质也能更直观的说明：

$A,B相互独立⟺\overline{A},B相互独立⟺A,\overline{B}相互独立⟺\overline{A}\overline{B}相互独立.$

证明：

$\because 当P(AB)=P(A)P(B)时，$

$P(A\overline{B})=P(A-AB)$

$=P(A)-P(AB)=P(A)-P(A)P(B)=P(A)[1-P(B)]=P(A)P(\overline{B})$

上面的证明，仅证明当 $P(AB)=P(A)P(B)$ 时，$P(A\overline{B})=P(A)P(\overline{B})$，其他的证明类似，这里省略。

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定义： 设 $A_1,A_2,...,A_n$ 为 $n$ 个随机事件，

若对 $2\le k\le n$ 均有：

$$P(A_{i_1}{A}_{i_2}...A_{i_k})=\prod _{j=1}^{k}P(A_{i_j})$$

则称 $A_1,A_2,...,A_n$ 相互独立。

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例 2： 有一个正四面体,现在给一面漆上红色,一面漆上黄色,一面漆上蓝色,还有一面漆上红黄蓝三色．现在任取一面。令 A = “这面含红色”，B=“这面含黄色”，C=“这面含蓝色”。问：A,B,C 是否两两独立？是否相互独立？

解: 对这四面分别标号为 1,2,3,4.

则 S = { 1 , 2 , 3 , 4 } , A = { 1 , 4 } , B = { 2 , 4 } , C = { 3 , 4 } S = \{1,2,3,4\}, A = \{1, 4\}, B=\{2,4\}, C=\{3,4\} S={1,2,3,4},A={1,4},B={2,4},C={3,4}

A B = A C = B C = A B C = { 4 } AB=AC=BC=ABC=\{4\} AB=AC=BC=ABC={4}

$P(A)=P(B)=P(C)=1/2$

$P(AB)=P(AC)=P(BC)=P(ABC)=1/4$

$⟹P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C)$ 两两独立

$P(ABC)\ne P(A)P(B)P(C)$ 不是相互独立

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例 3： $P(A)=0.5,P(B)=0.4$，求下列情况下，$P(A\bigcup B)$.

$(1)A与B独立，(2)A与B不相容，$

$(3)A\supset B，(4)P(AB)=0.3.$

解：

(1) $P(A\bigcup B)=1-P(\overline{A}\overline{B})=1-P(\overline{A})P(\overline{B})=0.7,$

(2) $P(A\bigcup B)=P(A)+P(B)=0.9,$

(3) $P(A\bigcup B)=P(A)=0.5,$

(4) $P(A\bigcup B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.6.$

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例4：有 5 个独立元件构成的系统(如图)，设每个元件能正常运行的概率为 $p$，求系统正常运行的概率.

解： 设 A i = { 第 i 个 元 件 允 许 正 常 } ， i = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 A_i=\{第 i 个元件允许正常\}，i=1,2,3,4,5 Ai​={第i个元件允许正常}，i=1,2,3,4,5

A = { 系 统 允 许 正 常 } A=\{系统允许正常\} A={系统允许正常}

$P(A)=P(A_3)\cdot P(A|A_3)+P(\overline{A_3})\cdot P(A|\overline{A_3})$

$p_1\widehat{=}P(A|A_3)$

$=P((A_1\bigcup A_4)(A_2\bigcup A_5))$

$=[P(A_1\bigcup A-4){]}^2=(2p-p^2{)}^2$

$p_2\widehat{=}P(A|\overline{A_3})$

$=P(A_1{A}_2\bigcup A_4{A}_5)$

$=2p^2-p^4$

$P(A)=P(A_3)\cdot P(A|A_3)+P(\overline{A_3})\cdot P(A|\overline{A_3})$

$=p(2p-p^2{)}^2+(1-p)(2p^2-p^4)$

$=2p^2+2p^3-5p^4+2p^5$

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关于小概率事件

“概率很小的事件在一次试验中实际上几乎是不发生的”（称之为实际推断原理）。

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例 5： 某技术工人长期进行某项技术操作，他经验丰富，因嫌按规定操作太过烦琐，就按照自己的方法进行，但这样做有可能发生事故.设他每次操作发生事故的概率为 $p=0.0001$，他独立重复进行了 n 次操作. 求

(1) n次都不发生事故的概率；

(2) 至少有一次发生事故的概率.

解： 设 A i = { 第 i 次 不 发 生 事 故 } ， i = 1 , 2 , . . . , n . A_i=\{第i次不发生事故\}，i=1,2,...,n. Ai​={第i次不发生事故}，i=1,2,...,n.

B = { n 次 都 不 发 生 事 故 } . B=\{n次都不发生事故\}. B={n次都不发生事故}.

C = { 至 少 发 生 一 次 事 故 } . C=\{至少发生一次事故\}. C={至少发生一次事故}.

$则A_1,...,A_n相互独立，P(A_i)=1-p=0.9999$

$P(B)=P(A_1...A_n)=(1-p{)}^n$

$P(C)=1-P(B)=1-(1-p{)}^n$

注意到 $$\underset{n\to \infty }{\lim }P(C)=1-\underset{n\to \infty }{\lim }(1-p{)}^n=1$$

上式的意义为："小概率事件"在大量独立重复试验中“至少有一次发生”几乎是必然的。决不能轻视小概率事件。

$n=7000时，P(C)=1-(1-0.0001{)}^{7000}=0.5034>0.5.$

$n=30000时，P(C)=1-(1-0.0001{)}^{30000}=0.9502$

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