概率统计D 01.05 事件的独立性

$\color{blue}{\S 1.5 事件的独立性}$

$\color{blue}{一、引例}$

$例1.袋中装有5只白球、4只黑球,依次任取两只球.\\ A表示事件第一次取到黑球,B表示事件第二次取到白球.\\ 如果作不放回抽样,则有\\ P(B|A) = \dfrac{5}{8}, P(B| \bar A) = \dfrac{4}{8}, P(A) = \dfrac{4}{9}, \\ P(B) = P(A)P(B|A) + P(\bar A)P(B| \bar A) \\ = \dfrac{4}{9} \times \dfrac{5}{8} + \dfrac{5}{9} \times \dfrac{4}{8} = \dfrac{5}{9}, \\ 这里P(B|A) \neq P(B), 从而有P(AB) \neq P(A)P(B). \\ 如果作有放回抽样,则有 \\ P(A) = \dfrac{4}{9}, P(B|A) = \dfrac{5}{9} = P(B), P(B | \bar A) = \dfrac{5}{9} = P(B), \\ 这里有P(AB) = P(A)P(B|A) = P(A)P(B). \\ 在有放回抽样的情况下,有\\ P(AB) = P(A)P(B),此时P(B|A) = P(B| \bar A) = P(B), \\ 说明事件A发生与否,不影响事件B的概率,\\ 于是我们就说事件A与事件B是相互独立的.$

$\color{blue}{二、事件相互独立的定义与性质}$

$定义.设A、B是试验E的两个随机事件,如果P(AB) = P(A)P(B),\\ 则称事件A与事件B相互独立.$

$性质1.若P(A) > 0,则事件A与事件B相互独立的充分必要条件是P(B|A) = P(B).$
$性质2.若P(B) > 0,则事件A与事件B相互独立的充分必要条件是P(A|B) = P(A).$
$性质3.A与B独立 \Leftrightarrow A与\bar B独立 \Leftrightarrow \bar A与B独立 \Leftrightarrow \bar A 与 \bar B独立.$
$证:设A与B相互独立,即有P(AB) = P(A)P(B),于是\\ P(A \bar B) \\ = P(A - AB) \\ = P(A) - P(AB) \\ = P(A) - P(A)P(B) \\ = P(A)[1 - P(B)] \\ = P(A)P(\bar B), \\ 即知 A 与 \bar B相互独立.\\ 当A 与 \bar B相互独立时,有P(A \bar B) = P(A)P(\bar B), 于是\\ P(AB) = P(A\bar{\bar B}) \\ = P(A - A \bar B) \\ = P(A) - P(A \bar B) \\ = P(A) - P(A)P(\bar B) \\ = P(A) [1 - P(\bar B)] \\ = P(A)P(B), 即知A与B相互独立.$

$例3.两人分别独立地向同一目标各射击一次,甲命中率为0.9,\\ 乙命中率为0.8,求目标被击中的概率.$
$解:设A_1表示事件甲击中目标, A_2表示事件乙击中目标.\\ B表示事件目标被击中.则B = A_1 \cup A_2.由题意可知事\\ 件A与事件B相互独立,于是:\\ P(B) = P(A_1 \cup A_2) = P(A_1) + P(A_2) - P(A_1A_2) \\ = P(A_1) + P(A_2) - P(A_1)P(A_2) \\ = 0.9 + 0.8 - 0.9 \times 0.8 \\ = 0.98. \\ 另解: \bar B = \bar A_1 \bar A_2, P(B) = 1 - P(\bar B) = 1 - P(\bar A_1 \bar A_2) \\ = 1 - P(\bar A_1)P(\bar A_2) = 1 - 0.1 \times 0.2 = 0.98.$

$定义.设A、B、C为三个事件,如果\\ P(AB) = P(A)P(B), P(AC) = P(A)P(C), P(BC) = P(B)P(C), \\ 且P(ABC) = P(A)P(B)P(C), 则称事件A、B、C相互独立.$
$注:1^° 三个事件相互独立,可以保证两两相互独立,但反之不然.$
$2^° 设A_1,A_2, \cdots, A_n为n个事件,如果对于任意正整数k(k \leq n)\\ 及这n个事件中的任意k(2 \leq k \leq n)个事件A_{i_1}, A_{i_2}, \cdots, A_{i_k},都有 \\ P(A_{i_1}A_{i_2} \cdots A_{i_k}) = P(A_{i_1})P(A_{i_2}) \cdots P(A_{i_k}), \\ 则称n个事件A_1, A_2, \cdots, A_n相互独立.$

$例4.某一系统中的一个元件正常工作的概率叫做该元件的可靠性,由若干个元件\\ 组成的系统正常工作的概率叫做该系统的可靠性.设有3个元件,每个元件的可靠\\ 性均为r(0 < r < 1),且各个元件是否正常工作是相互独立的,试求由3个元件串\\ 联而成的系统以及由这三个元件并连而成的系统的可靠性.$
$解:设A_i表示事件第i个元件正常工作(i = 1, 2, 3),A表示事\\ 件串联系统正常工作,B表示事件并联系统正常工作.则有. \\ A = A_1A_2A_3, B = A_1 \cup A_2 \cup A_3, \\ P(A) = P(A_1A_2A_3) \\ = P(A_1)P(A_2)P(A_3) = r^3, \\ P(B) = P(A_1 \cup A_2 \cup A_3) \\ = P(A_1) + P(A_2) + P(A_3) - P(A_1A_2) \\ - P(A_1A_3) - P(A_2A_3) + P(A_1A_2A_3), \\ = 3r - 3r^2 + r^3, \\ 或 \\ P(B) = 1 - P(\bar B) = 1 - P(\bar A_1 \bar A_2 \bar A_3)\\ = 1 - P(\bar A_1)P(\bar A_2)P(\bar A_3) \\ = 1 - (1 - r)^3 \\ = 3r - 3r^2 + r^3.$