三角形的四心的向量表示 | 难点

前言

若三角形的四心用文字语言表述时，许多学生还可以对付一阵，若但换成向量形式的符号语言，则大多就哑口无言了，所以有必要将三角形四心的向量表示形式好好作以总结储备。 相关延伸

常用结论

1、已知 $O$ 为 $△ABC$内的一点，若 $\overrightarrow{OA}$$+$$\overrightarrow{OB}$$+$$\overrightarrow{OC}$$=$$\vec{0}$，则 $O$ 是 $△ABC$的重心；

2、已知 $O$ 为 $△ABC$内的一点，满足$|\overrightarrow{OA}|=|\overrightarrow{OB}|=|\overrightarrow{OC}|$，则 $O$ 是 $△ABC$的外心；

3、已知 $O$ 为 $△ABC$内的一点，满足$\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OB}\cdot \overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OC}\cdot \overrightarrow{OA}$，则 $O$ 是 $△ABC$的垂心；

4、已知 $O$ 为 $△ABC$内的一点，的充要条件是 满足 $\overrightarrow{OA}\cdot (\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}-\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|})$$=\overrightarrow{OB}\cdot (\frac{\overrightarrow{BA}}{|\overrightarrow{BA}|}-\frac{\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BC}|})$$=\overrightarrow{OC}\cdot (\frac{\overrightarrow{CA}}{|\overrightarrow{CA}|}-\frac{\overrightarrow{CB}}{|\overrightarrow{CB}|})=0$，则 $O$ 为 $△ABC$的内心 ；

三角形重心

• 重心：三角形的三条中线的交点。

✍️ 命题一：已知$O$为 $△ABC$ 内的一点，则 $O$是 $△ABC$的重心的充要条件是 $\overrightarrow{OA}$$+$$\overrightarrow{OB}$$+$$\overrightarrow{OC}$$=$$\vec{0}$；

证明：必要性，由于$O$是 $△ABC$的重心，则线段$AD、BE、CF$为三角形的三条中线，

则有$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AD}=\frac{4}{3}\overrightarrow{AO}=-\frac{4}{3}\overrightarrow{OA}$，

$\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{BE}=\frac{4}{3}\overrightarrow{BO}=-\frac{4}{3}\overrightarrow{OB}$，

$\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CA}=2\overrightarrow{CF}=\frac{4}{3}\overrightarrow{CO}=-\frac{4}{3}\overrightarrow{OC}$，

故$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$$=-\frac{4}{3}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})$

$=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CA}=\vec{0}$；

充分性，由$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\vec{0}$，得到$\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=-\overrightarrow{OA}$，

又$\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{OD}$，则$-\overrightarrow{OA}=2\overrightarrow{OD}$，

故点$A、O、D$三点共线，且$AD$为三角形的一条中线；

同理，$BE、CF$为三角形的中线；故$O$是 $△ABC$的重心；证毕。

这条性质在具体题目中又是如何使用的呢？应用举例

如【2020宝鸡市二检理科第15题】已知点 $P$ 为三角形 $\triangle ABC$ 内部一点，且满足 $\overrightarrow{PB}$$+$$\overrightarrow{PC}$$=$$\overrightarrow{AP}$，。。。
分析：将给定条件先变形得到，$\overrightarrow{PB}$$+$$\overrightarrow{PC}$$-$$\overrightarrow{AP}$$=$$\vec{0}$，变形后即$\overrightarrow{PB}$$+$$\overrightarrow{PC}$$+$$\overrightarrow{PA}$$=$$\vec{0}$，故点$P$是三角形的重心。

✍️ 命题二：$O$是 $△ABC$的重心，则$S_{\Delta AOB}=S_{\Delta BOC}=S_{\Delta COA}$；

证明：$O$是 $△ABC$的重心，令边$AB$上的高线为$h$，

则$S_{\Delta AOB}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot \frac{h}{3}=\frac{1}{3}{S}_{\Delta ABC}$，

同理，$S_{\Delta BOC}=\frac{1}{3}{S}_{\Delta ABC}$，$S_{\Delta AOC}=\frac{1}{3}{S}_{\Delta ABC}$，

故$S_{\Delta AOB}=S_{\Delta BOC}=S_{\Delta COA}$；

✍️ 命题三：已知$D、E、F$是 $△ABC$的边$BC、AC、AB$的中点，则$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{CF}=\vec{0}$；

证明：已知$D、E、F$是 $△ABC$的边$BC、AC、AB$的中点，$O$是 $△ABC$的重心，

则$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}(AB$