均值不等式的常见使用技巧

前言

均值不等式这一素材，是高中数学中少见的几个需要同时验证成立的多条件素材。由于要多头验证，所以学生很不习惯，感觉很难掌握。

公式内容

• 已知两个正数$a，b$，则有

$\frac{a+b}{2}⩾\sqrt{ab}$ (当且仅当$a=b$时取到等号)

在使用其求最值时，常使用变形形式：$a+b⩾2\sqrt{ab}$ 和 $ab⩽(\frac{a+b}{2}{)}^2$；

使用条件

① 各项[如 $a+b$ 中的 $a$、$b$]、各因式[如$a\cdot b$ 中的$a$、$b$]必须为正数；一正

② 各项的和[如 $a$、$b$ 的和 $a+b$]或各因式的积[因式 $a$、$b$ 的积 $ab$]必须为常数；二定

③ 各项或各因式能够取相等的值[即方程 $a=b$ 的解在允许取值范围内]；三相等

简称：一正、二定、三相等，三个条件必须同时成立。¹

理解内涵

• 从表达式中的字母内涵入手理解公式

$a+b\ge 2\sqrt{ab}$，如$a、b$可以是数字，可以代数式，如单项式、多项式；整式、分式、指数式、对数式、三角式等等

比如这些表达式都可以考虑用均值不等式：

$x+\frac{2}{x}⩾2\sqrt{2}(x>0)$；

$\frac{2}{x}+\frac{x}{2}⩾2(x>0)$；

$2^x+2^y⩾2\sqrt{2^{x+y}}$；

$lo{g}_a^b+lo{g}_b^a⩾2(lo{g}_a^b>0)$；

$sinx+\frac{1}{sinx}⩾2(0<sinx⩽1)$；

$\frac{a^2+b^2}{ab}=\frac{a}{b}+\frac{b}{a}⩾2(a，b>0)$；

当你看了以上这么多的式子时，你是否想过它们能否统一用一个式子来刻画。仔细想想，再琢磨琢磨看，是不是能用下面的式子来表示？

$$a+b⩾2\sqrt{ab}(a，b>0)$$

如果这样读书，课本自然就越读越薄了。

理论依据

在均值不等式中，$\frac{a+b}{2}⩾\sqrt{ab}$ (当且仅当$a=b$时取到等号)，若其乘积 $ab=P$（$P$为定值），则其和 $a+b⩾2\sqrt{P}$，当且仅当 $a=b$ 时，和 $a+b$ 能取到最小值 $2\sqrt{P}$； 简称为“积定和最小” ；

若其和 $a+b=S$（$S$为定值），则其积 $ab⩽(\frac{a+b}{2}{)}^2=\frac{S^2}{4}$，当且仅当 $a=b$ 时，积 $ab$ 能取到最大值 $\frac{S^2}{4}$； 简称为“和定积最大” ；

使用技巧

✍️ 直接使用，充分理解【定积式】和【定和式】两个自创概念；

形如 $ax+\frac{b}{x}$（$a$,$b$为正常数）² 或 $\frac{y}{x}+\frac{x}{y}$ 或 $\frac{a^2+b^2}{ab}=\frac{b}{a}+\genfrac{}{}{0ex}{}{}{b}$