平面向量习题|低阶

前言

当我们引入了用坐标刻画向量后，向量就既有形的表示[有向线段]，也有数的表达[坐标]，那么向量的位置关系也就能用数的形式来刻画了。比如给定向量 $\vec{a}=(x_1,y_1)$， $\vec{b}=(x_2,y_2)$， 则

向量的垂直关系可以表示为：

$\vec{a}\perp \vec{b}$ $\iff$ $\vec{a}\cdot \vec{b}=0$ $\iff$ $x_1{x}_2+y_1{y}_2=0$

向量的平行关系可以表示为：

$\vec{a}//\vec{b}$ $\iff$ $\vec{a}=k\cdot \vec{b}$ $\iff$ $\frac{x_1}{x_2}=\frac{y_1}{y_2}=k$ $\iff$ $x_1{y}_2-x_2{y}_1=0$

这样，我们常常会碰到利用向量的位置关系来求解坐标中包含参数的问题。当然还得注意，两个向量的共线等价于两个向量的平行。

相关链接

平面向量习题|高阶；

典例剖析

1、 已知平面向量 $\vec{a}=(4,-3)$，$\vec{b}=(5,0)$.

(1). 求 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角的余弦值；

解析： 令 $<\vec{a},\vec{b}>=\theta$，由于 $\vec{a}=(4,-3)$ ， $\vec{b}=(5,0)$，

又由 $\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|\cdot \cos \theta$，得到，$\cos \theta =\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|}$

则 $\cos \theta =\frac{4\times 5+(-3)\times 0}{\sqrt{4^2+(-3{)}^2}\cdot \sqrt{5^2+0^2}}=\frac{20}{5\times 5}=\frac{4}{5}$ .

(2). 若向量 $\vec{a}+k\vec{b}$ 与 $\vec{a}-k\vec{b}$ 互相垂直， 求实数 $k$ 的值；

解析： 由于 $\vec{a}+k\cdot \vec{b}=(4+5k,-3)$， $\vec{a}-k\cdot \vec{b}=(4-5k,-3)$，

又由于 $\vec{a}+k\cdot \vec{b}$ 与 $\vec{a}-k\cdot \vec{b}$ 垂直，则 $(\vec{a}+k\cdot \vec{b})\cdot$$(\vec{a}-k\cdot \vec{b})=0$，

故 ( 4 + 5 k ) ( 4 −