解不等式到底想考啥

前言

高中阶段的许多学生本以为 解不等式 是个比较轻松的工作，结果弄得晕头转向，不知所以，现在试着分层次将其作以梳理。 常见不等式解法;

典例剖析

✍️ 层次一：以考查常用的数学变形和数学运算为主，这类题目主要集中在初中数学层面，高中学生常常会在集合、常用逻辑用语、线性规划等章节中遇到，大多在高一高二的时间段内涉及到；

1、求解不等式 $\frac{2x+1}{2}-\frac{6x-1}{3}<\frac{3}{2}$；

解：不等式两边同时乘以两个分母 $2$，$3$ 的最小公倍数 $6$ ，

去分母，变形为 $3(2x+1)-2(6x-1)<9$，

去括号，变形为 $6x+3-12x+2<9$，

移项，合并同类项，变形为 $-6x<4$，

系数化为 $1$，变形为 $x>-\frac{2}{3}$ .

[解后反思]：上述已知的不等式虽然有分母，但是其并不是分式不等式，是因为分母位置上没有未知数；另外，上述的不等式属于代数不等式，求解时常用的变形方法有去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为 $1$ 等。

等到我们对以上层次的问题处理的驾轻就熟时，也往往就形成了一定的思维定势，以为所有的不等式问题都可以通过代数的手段来解决。这种相对固定的思维模式，此时对高中学生来说，更多的体现为一种劣势和灾难。

✍️ 层次二：利用函数的图像解不等式[常常是超越不等式]，更多的从形的角度来考查学生思维的灵活性。考查学生是否有数形结合思维的主动性，是否具备作图、识图、用图的数学应用意识。此类题目常常在高一高二的扶优辅导题目和高三的一轮复习中出现。

2、【2020届高三文科数学用题】设函数$y=f(x+1)$是定义在$(-\infty ,0)\cup (0,+\infty )$上的偶函数，在区间$(-\infty ,0)$上是减函数，且图像经过点$(1，0)$，则不等式$(x-1)\cdot f(x)⩽0$的解集为______。

分析：由于$f(x+1)$为偶函数，故其满足$f(-x+1)=f(x+1)$，则函数$f(x)$的对称轴为$x=1$，

可以先做出函数$y=f(x+1)$的示意图，再向右平移一个单位得到函数$y=f(x)$的示意图如下，

不等式$(x-1)\cdot f(x)⩽0$可化为$\{\begin{array}{l}x>1\\ f(x)⩽0\end{array}$或$\{\begin{array}{l}x<1\\ f(x)⩾0\end{array}$

解读图像可知，解集为 { x ∣ x ⩽ 0 或 1 < x ⩽ 2 } \{x\mid x\leqslant 0或1<x\leqslant 2\} { x∣x⩽0或1<x⩽2}，故$x\in (-\infty ，0]\cup (1，2]$.

3、解关于 $x$ 的不等式 $\ln x+x>1$；

分析：你应该能感觉到，这个题目用我们平常的那种解法(代数解法)已经不能做出来了，因为它不是我们熟悉的那种代数不等式，而是超越不等式，这时候就需要我们借助图像来求解。

将原不等式变形为 $\ln x>1-x$ ，此时不等式的两端都是基本初等函数或初等函数，便于做出图像，

分别作出两个函数 $y=\ln x$ 和