凸优化第五章对偶 5.5最优性条件

最新推荐文章于 2025-09-29 11:21:11 发布

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本文详细介绍了凸优化中的最优性条件，重点讨论了互补松弛性和KKT条件。互补松弛性指出在强对偶性条件下，原问题和对偶问题最优解之间的关系。接着，解释了非凸问题与凸问题的KKT条件，证明了在满足KKT条件且原问题是凸问题时，解是原、对偶问题的最优解。最后，通过举例进一步阐述了KKT条件的应用。

5.5最优性条件

互补松弛性
KKT最优性条件

互补松弛性

假设问题具有强对偶性， $x^*$ 为其原问题的最优解， $(\lambda^*,v^*)$ 为其对偶问题的最优解，可知：

$f_0(x^*)=g(\lambda ^*,v^*)=\underset{x }{inf}(f_0(x)+\sum _{i=1}^m \lambda_i^* f_i(x)+\sum _{i=1}^p v^*_ih_i(x))\\$

根据对偶函数的定义，可知 $g(\lambda ^*,v^*)$ 小于等于任意的 $(f_0(x)+\sum _{i=1}^m \lambda_i^* f_i(x)+\sum _{i=1}^p v^*_ih_i(x))\\$

所以取 $x^*$ 时，也成立，故

$f_0(x^*)=g(\lambda ^*,v^*)=\underset{x }{inf}(f_0(x)+\sum _{i=1}^m \lambda_i^* f_i(x)+\sum _{i=1}^p v^*_ih_i(x))\\ \leq (f_0(x^*)+\sum _{i=1}^m \lambda_i^* f_i(x^*)+\sum _{i=1}^p v^*_ih_i(x^*))\\$

$L(x,\lambda ^*,v^*)=f_0(x)+\sum _{i=1}^m \lambda_i^* f_i(x)+\sum _{i=1}^p v^*_ih_i(x)$

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