凸优化第五章对偶 5.3几何解释

最新推荐文章于 2025-09-29 11:21:11 发布

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本文介绍了凸优化中对偶函数的几何解释，特别是在只有一个不等式约束的情况下。通过对偶函数的定义，展示了如何在约束函数形成的集合G中寻找最小值。上境图形式进一步阐述了强对偶性的条件，即存在非竖直支撑超平面的边界点，这在凸问题中通常成立。

5.3几何解释

对偶函数的解释
上境图

对偶函数的解释

简单考虑只有一个不等式约束 $f_1(x)\leq 0$

定义

$G =\left \{ (f_1(x),f_0(x))|x\in D \right \}$

已知对偶函数：

$g(\lambda )=\underset{(u,t)\in G}{inf}(t+\lambda u)=\underset{(u,t)\in G}{inf}(\lambda ,1)^T(u,t)$

所有对偶函数相当于在G上极小化 $(\lambda ,1)^T(u,t)$ ，得到斜率为

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