凸优化第四章凸优化问题 4.5几何规划

最新推荐文章于 2025-03-02 11:12:24 发布

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分类专栏：凸优化

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本文介绍了几何规划的概念，包括单项式与正项式的定义，以及如何将几何规划转换为凸优化问题。通过变量代换和对数函数转换，确保目标函数和约束函数为凸形式，以解决实际如悬臂梁设计等工程问题。

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4.5几何规划

单项式与正项式
几何规划
凸形式的几何规划
例子

单项式与正项式

函数 $f:R^n\rightarrow R,dom(f)=R^n_{++}$ 定义为： $f(x)=cx_1^{a-1}x_2^{a_2}\cdots x_n^{a_n},c>0,a_i \in R$

函数f被称为单项式函数，或简称单项式。单项式的指数 $a_I$ 可以是任意实数，但系数c非负。

单项式的和，成为正项式函数，或简称为正项式，具有下列形式：

$f(x)=\sum _{k=1}^{K}c_kx_1^{a_{1k}}x_2^{a_{2k}}\cdots x_n^{a_{nk}},c_k>0$

正项式对于加法、正数乘和非负的伸缩变换，以及平方运算都是封闭的，即 $\forall f(x),g(y)$ 是正项式 $f(x)+g(y),kf(x),k> 0,f(x)^2$ 均是正项式。

几何规划

$minimize \, \, f_0(x) \\ subject \, \, to \, \,\begin{matrix} f_i(x)\leq 1 &i=1,2\cdots m \\ h_i(x)=1 &i=1,2,\cdots p \end{matrix}$

具有上述形式的优化问题称为几何规划。其中 $f_i$ 是正项式， $h_i$ 是单项式。

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