凸优化第二章凸集 2.3保凸运算

最新推荐文章于 2025-06-27 23:36:09 发布

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分类专栏：凸优化

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本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/wangchy29/article/details/86493830

本文详细介绍了凸优化中保凸运算的概念，包括交集、仿射函数以及线性分式和透视函数。交集规则表明几个凸集的交集仍为凸集。仿射函数保持凸性，无论输入还是输出。透视函数和线性分式函数都是保凸的，其对凸集的像和原像均保持凸性特点。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

2.3保凸运算

交集
仿射函数
线性分式及透视函数

交集

几个凸集的交集也是凸集。

仿射函数

假设仿射函数 $f : R^n\rightarrow R^m,f(x)=Ax+b,A\in R^{m\times n},b\in R^m$

仿射函数有两个特性：

凸集S在仿射函数f下的像是凸的。 $f(S)=\left \{ f(x)| x\in S \right \}$
凸集S在f的原像是凸的。 $f^{-1}(S)=\left \{ x|f(x)\in S \right \}$ ，（注，数学上函数存在反函数，当且仅当函数是一一映射且是满射，但是在这个定义里面，不要求函数f具备这样的条件。）

这里书中给出对凸集S进行伸缩和平移后得到的集合仍为凸集，两个凸集的和仍为凸集。

线性分式及透视函数

透视函数

透视函数：

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