凸优化第二章凸集 2.2重要例子

最新推荐文章于 2023-04-09 19:38:16 发布
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本文介绍了凸优化中的重要概念，包括超平面、半空间、欧几里得球和椭球、范数球与范数锥，以及多面体和半正定锥。超平面是线性方程的解空间，而半空间则是超平面的一侧。欧几里得球和椭球在几何上有特定的表示和性质。此外，文章还探讨了范数的概念及其在形成凸集中的作用，以及多面体和半正定锥作为凸集的例子。

2.2重要例子

1 空集、单点集、R^n都是R^n的仿射

2 任意直线都是仿射

3 一条线段是凸的，但不是仿射

4 射线是凸的，但不是仿射

5 任何子空间都是仿射的、凸锥

超平面与半空间

超平面

数学上超平面是具有下列形式的集合:

\left \{ x|a^{T}x=b \right \},a\in R^{n},a\neq 0,b\in R

从上式看出，超平面其实是线性方程的解空间。从几何上看，超平面其实是以a为法向量的平面。如下图：

超平面

半空间

半空间数学上的定义是

\left \{ x|a^{T}x\leq b \right \},a\in R^{n},a\neq 0,b\in R\:

几何上是：

半空间

Euclid球和椭球

Euclid球

以x_{c}为球心以r为半径的球这样表示：

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