凸优化第二章凸集 2.1仿射集合和凸集

最新推荐文章于 2023-05-28 23:34:10 发布
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分类专栏： 凸优化
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本文介绍了凸优化中的基本概念，包括仿射集合和凸集的定义，以及它们的特性。仿射集合是任意两点间直线都在集合内的集合，而凸集则限制了两点间线段必须在集合内。此外，还讲解了仿射包、凸包、锥和锥包的概念，并通过实例加以说明。

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第二章凸集

主要内容:

  1. 仿射集合和凸集
  2. 重要例子
  3. 保凸运算
  4. 广义不等式
  5. 分离和支撑超平面
  6. 对偶锥与广义不等式

2.1仿射集合和凸集

仿射集合

仿射集合：集合C\subseteq R^n中任意两个不同点的直线仍然在集合C中，那么称集合C是仿射集合。

\forall x_{1},x_{2}\in C,\forall\theta \in R,\theta x_{1}+(1-\theta)x_{2} \in C

仿射

如上图，对于x_{1}\, x_{2}，取不同的\theta可以得到不同的点，这些点构成了经过

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仿射集合与凸集
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仿射集合affine set 如果通过集合C⊆RnC\subseteq \mathbf{R}^nC⊆Rn中任意两个不同点的直线仍然在集合C中，那么称集合C是仿射的。C⊆RnC\subseteq \mathbf{R}^nC⊆Rn是仿射的等价于：对任意x1,x2∈Cx_1,x_2\in Cx1​,x2​∈C及θ∈R\theta \in \mathbf{R}θ∈R有θx1+(1−θ)x2∈C\theta x_1+(1-\theta) x_2\in Cθx1​+(1−θ)x2​∈C。 换句话说，C包含了C中任意两点
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凸优化（一）仿射集与凸集
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凸集
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