工程数学（3）——矩阵的直接三角分解法

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本文探讨了三对角方程组追赶法，适用于严格对角占优阵的快速求解，以及对称正定矩阵的Cholesky分解，通过LDU或LDT分解简化计算。这两种方法在数值线性代数中极具效率。

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文章目录

一、三对角方程组追赶法
二、对称正定的Cholesky分解法

一、三对角方程组追赶法

$A x = f$ 的系数矩阵呈对三角形
$\begin{pmatrix} b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_2\\ & \ddots & \ddots & \ddots\\ &&a_{n-1} & b_{n-1} &c_{n-1}\\ &&&a_{n}&b_{n}\\ \end{pmatrix}$
$A = L U$ 具有以下形式
$\begin{pmatrix} 1 \\ l_{2} & 1 \\ &l_3& \ddots\\ && \ddots& 1\\ &&& l_n & 1\\ \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} u_1&d_1 \\ & u_{2} & d_2 \\ &&\ddots& \ddots\\ &&&u_{n-1}& d_{n-1}\\ &&&& u_n\\ \end{pmatrix}$

计算公式如下：
$d_i=c_i$
$u_1=b_1$
$l_i=a_i/u_{i-1}$
$u_i=b_i-l_ic_{i-1}$
计算次序是 $u_1,l_2,u_2,l_3,u_3,\cdots,l_n,u_n$
原方程组转化为
$L y = f$
$U x = y$
即可得解
求解三对角方程组前提条件是A是严格对角占优阵或对称正定

二、对称正定的Cholesky分解法

若A对称正定，则存在一个实的下三角阵L，使 $A=LL^T$
这种分解是唯一的
$\begin{pmatrix} l_{11} \\ l_{21} & l_{22} \\ \cdots & & \ddots\\ l_{n1}&l_{n2}& \cdots&l_{nn}\\ \end{pmatrix}$
逐列计算L的元素，即 $l_{11},l_{21},\cdots,l_{n1},l_{22},\cdots,l_{n2},\cdots,l_{nn}$
原方程组转化为 $L y = b$
$L^Tx$ =y
PS:Matlab有专用的函数来计算 $L$

L=chol(A)

为了避免相对耗时的平方根运算，将A分解为 $A=LDL^T$
其中 $\begin{pmatrix} 1 \\ l_{21} &1\\ \cdots & & \ddots\\ l_{n1}&l_{n2}& \cdots&1\\ \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} d_1 \\ \ &d_2\\ & & \ddots\\ && &d_n\\ \end{pmatrix}$
称为改进的平方根法