现代控制理论（6）——最优控制

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一、静态最优化问题的解

1.多元函数的极值

$J=f(u)$取极值的充分必要条件：
必要条件：$\frac{\partial f}{\partial u}=0$
充分条件：$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial u^2}>0$

2.具有等式约束条件的极值

1.嵌入法
2.拉格朗日乘子法
原函数$J=f(x,u)$
等式约束条件$g(x,u)=0$
构造拉格朗日函数：
$$H=J+\lambda g(x,u)$$
H取极值的必要条件$$\frac{\partial H}{\partial u}=0;\frac{\partial H}{\partial x}=0;\frac{\partial H}{\partial \lambda }=0$$

二、泛函及其极值——变分法

1.基本概念

对于自变量x，存在一类函数$y(x)$,对于每个$y(x)$,有一个J值与之对应，则变量J称为依赖于函数$y(x)$的泛函数，记作$J[y(x)]$
自变量x称为宗量
$y(x)$称为宗量函数
$J[y(x)]$称为宗量函数的泛函

若泛函在任何一条与$y_0(x)$接近的曲线上都有
$$\Delta J=J[y(x)]-J[y_0(x)]\ge 0$$
则J在$y_0(x)$上达到极小值
求泛函的极值问题称为变分问题，其方法为变分法

$\Delta J=J[y(x)+\delta y(x)]-J[y(x)]=L[y(x)$