工程数学（2）——高斯消去法

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原创最新推荐文章于 2026-10-17 15:07:20 发布 4.3k 阅读 AI 写同款· GEO 优化 ›

【数据结构与算法】高斯消元法高斯消元法数学上，高斯消元法（Gaussian Elimination或译：高斯消去法），是线性代数规划中的一个算法，可用来为线性方程组求解。在许多应用中，我们需要解一个包含n个方程的n元联立方程组：其中，n是一个大数。高斯消去法的思路是把n个线性方程构成的n元联立方程组变成一个等价方程组（也就是说，它的解和原来的方程组相同），该方程组有着一个上三角形的系数矩阵，这种矩阵的主对角线下方元素全部为0。用矩阵的符号，我们可以把它写成Ax=b=>A’x=b′{\boldsymbol{A}x=\bo 阅读详情

一、概述

高斯消去法是一种求解线性方程组的算法。其本质是将线性方程组的增广矩阵转化为行阶梯矩阵

二、原理

已知线性方程组 $A x = b$
写出增广矩阵 $(A ∣ b)$
将其转化为上三角矩阵 $A^1|b^1)$
$(A^1|b^1)= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}&b_1\\ & a_{22} & \cdots & a_{2n}&b_2\\ && \ddots & \vdots & \vdots \\ & &&a_{nn}&b_n\\ \end{pmatrix}$
由该行阶梯矩阵很容易求出解向量 $x$
这个过程称为顺序的高斯消元法
实现该过程的MATLAB代码如下：

clear,clc
%消元过程
n=input('请输入系数矩阵的阶数 n:');
A=input('请输入系数矩阵A:');
b=input('请输入b:');
for i=1:n-1
    A(i+1:n,i)=A(i+1:n,i)/A(i,i);         %消元因子
    A(i+1:n,i+1:n)=A(i+1:n,i+1:n)-A(i+1:n,i)*A(i,i+1:n);%化成上三角矩阵U
    b(i+1:n,1)=b(i+1:n,1)-b(i,1)*A(i+1:n,i); 
end
%回代过程
n=n;
U=A;%保存A这个矩阵
b=b;
for j =n:-1:2
    b(j)=b(j)/U(j,j);
    b(1:j-1)=b(1:j-1)-b(j)*U(1:j-1,j);
end
b(1)=b(1)/U(1,1);
A   %此时A的下三角矩阵为L，上三角矩阵为U，实现LU三角分解
b%b为线性方程组的解

三、高斯列主元消去法

当出现零主元或小主元时，消元或不可行或数值不稳定，此时需要对原有的高斯消去法进行改进
在将增广矩阵转化为行阶梯矩阵的过程中，每一列选择绝对值最大的元素作为主元素进行消元
实现该过程的MATLAB代码如下：

clear,clc
%消元过程
n=input('请输入系数矩阵的阶数 n:');
A=input('请输入系数矩阵A:');
b=input('请输入b:');
c=zeros(1,n);
d=0;
for i=1:n-1
    [max_a,k]=max(abs(A(i:n,i)));
    k=k+i-1;%找出列主元
    c=A(k,:);
    A(k,:)=A(i,:);
    A(i,:)=c;
    d=b(k,1);
    b(k,1)=b(i,1);
    b(i,1)=d;%行交换
    A(i+1:n,i)=A(i+1:n,i)/A(i,i);         %消元因子
    A(i+1:n,i+1:n)=A(i+1:n,i+1:n)-A(i+1:n,i)*A(i,i+1:n);
    b(i+1:n,1)=b(i+1:n,1)-b(i,1)*A(i+1:n,i); 
end
%回代过程
n=n;
U=A;%保存A这个矩阵
b=b;
for j =n:-1:2
    b(j)=b(j)/U(j,j);
    b(1:j-1)=b(1:j-1)-b(j)*U(1:j-1,j);
end
b(1)=b(1)/U(1,1);
A   
b%b为线性方程组的解

PS：特别感谢用户稳柱能赢对高斯列主元消去法MATLAB实现代码提供的帮助

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