矩阵的LU分解——MATLAB实现

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前言

　　矩阵$A$的$LU$分解是将矩阵A表示成一个下三角矩阵$L$和上三角矩阵$U$的乘积，即$A=LU$，这样的结构便于科学计算。

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一、矩阵的LU分解(三角分解)定义

　　设矩阵$A$是$m\times n$阶矩阵；$L$是$m\times m$阶下三角矩阵，主对角元素为1；$U$是$m\times n$阶上三角矩阵。称$LU$为矩阵$A$的一个三角分解，有：
$$A_{m\times n}=\left[\begin{array}{ccccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}& \cdots & a_{2n}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}& \cdots & a_{3n}\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& a_{m3}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(1-1)}$$
$$L_{m\times m}=[\begin{array}{ccccc}1& 0& 0& \cdots & 0\\ l_{21}& 1& 0& \cdots & 0\\ l_{31}& l_{32}& 1& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & \\ l_{m1}& l_{m2}& l_{m3}& \cdots & \end{array}$$