agc001E BBQ Hard

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本文解析AtCoder竞赛中一道关于烤串组合的算法题，通过数学组合和动态规划方法，求解在给定条件下烤串的可能组合数量，模10^9+7。介绍了如何将问题转化为特定点间路径方案数的计算，并提供了完整的C++代码实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目链接

https://agc001.contest.atcoder.jp/tasks/agc001_e

题意简述

有 $n$ 个烧烤包，每个烧烤包里面有一根棍子， $A_i$ 块牛肉， $B_i$ 块青椒。每根棍子两两不同，每块牛肉和青椒是相同的。Snuke想选取两个烧烤包，然后将所有牛肉和青椒串在棍子上，组成一根烤串。棍子是不可翻转的。求可以组成烤串的种类数模 $10^9+7$ 。

题解

题目就是求
$\sum_{i=1}^n \sum_{j=i+1}^n \binom{A_i+B_i+A_j+B_j}{A_i+A_j}$
直接求显然会TLE，考虑两个点 $x_1,y_1)$ 到 $x_2,y_2)$ ，只能向上或向右走的方案数，显然为 $\binom{x_2-x_1+y_2-y_1}{x_2-x_1}$ 。因此题目本质上是求 $A_i,-B_i)$ 到 $A_j,B_j)$ 的方案数。dp解决即可。

代码

#include <cstdio>
#include <algorithm>

int read()
{
  int x=0,f=1;
  char ch=getchar();
  while((ch<'0')||(ch>'9'))
    {
      if(ch=='-')
        {
          f=-f;
        }
      ch=getchar();
    }
  while((ch>='0')&&(ch<='9'))
    {
      x=x*10+ch-'0';
      ch=getchar();
    }
  return x*f;
}

const int maxn=200000;
const int maxm=2001;
const int maxk=maxm<<1;
const int mod=1000000007;

int n,x[maxn+10],y[maxn+10],mp[maxk+10][maxk+10],f[maxk+10][maxk+10],C[maxk*2+10][maxk+10];

int main()
{
  n=read();
  for(int i=1; i<=n; ++i)
    {
      int a=read(),b=read();
      ++mp[maxm-a][maxm-b];
      x[i]=a;
      y[i]=b;
    }
  C[0][0]=1;
  for(int i=1; i<=maxk*2; ++i)
    {
      C[i][0]=C[i-1][0];
      for(int j=1; (j<=i)&&(j<=maxk); ++j)
        {
          C[i][j]=C[i-1][j]+C[i-1][j-1];
          if(C[i][j]>=mod)
            {
              C[i][j]-=mod;
            }
        }
    }
  for(int i=1; i<=maxk; ++i)
    {
      for(int j=1; j<=maxk; ++j)
        {
          f[i][j]=mp[i][j]+f[i-1][j]+f[i][j-1];
          if(f[i][j]>=mod)
            {
              f[i][j]-=mod;
            }
        }
    }
  int ans=0;
  for(int i=1; i<=n; ++i)
    {
      ans+=f[x[i]+maxm][y[i]+maxm];
      if(ans>=mod)
        {
          ans-=mod;
        }
      ans-=C[(x[i]+y[i])<<1][x[i]<<1];
      if(ans<0)
        {
          ans+=mod;
        }
    }
  ans=1ll*ans*((mod+1)/2)%mod;
  printf("%d\n",ans);
  return 0;
}