AGC001E BBQ Hard 组合计数

最新推荐文章于 2022-01-20 08:58:50 发布

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这篇博客介绍了如何解决一道名为AGC001E BBQ Hard的组合计数问题。通过观察坐标范围和式子结构，作者提出利用组合的意义来简化问题，将问题转化为计算特定路径的方案数。采用动态规划的方法，可以在O(坐标^2)的时间复杂度内求解，同时注意需要排除特定情况下的重复计算。最后，博客提供了实现算法的代码片段。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目链接

题目大概要求的就是 $\displaystyle\sum_{i = 1}^n\displaystyle\sum_{j = i + 1}^nC(a_i+a_j+b_i+b_j,a_i+a_j)$

看这个式子发现怎么都不是很好求观察到坐标范围不是很大考虑组合意义

如果只能向右和向上走并且 $x < p, y < q$

则从点 $(x, y)$ 到点 $(p, q)$ 的方案数为 $C(p - x + q - y, p - x)$

这个理解起来不是很难就是总步数选取多少步向右走

回到题目先把式子化一下就变成了

$(\displaystyle\sum_{i = 1}^n\displaystyle\sum_{j ≠ i}^nC(a_i+a_j+b_i+b_j,a_i+a_j)) / 2$

那么题目要求的式子就可以转化成点 $(-a_j, -b_j)$ 到点 $(a_i, b_i)$ 的路径数

这个东西一个 $O(坐标^2)$ 的 $dp$ 就能解决然后就做完了

当然对于每个点要记得减去 $(-a_i, b_i)$ 到 $(a_i, b_i)$ 的方案数

Codes

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int M = 2e5 + 10, N = 8000 + 10, mod = 1e9 + 7;
int a[M], b[M], fac[N], inv[N];
int ans, n, f[N][N];

int qpow(int a, int x) {
    int ret = 1;
    while(x) {
        if(x & 1) 
            ret = 1ll * ret * a % mod;
        x >>= 1, a = 1ll * a * a % mod;
    }
    return ret;
}

void Init(int maxn) {
    scanf("%d", &n);
    fac[0] = inv[0] = 1;
    for(int i = 1; i <= maxn; ++ i)
        fac[i] = 1ll * fac[i - 1] * i % mod;
    inv[maxn] = qpow(fac[maxn], mod - 2);
    for(int i = maxn; i >= 1; -- i)
        inv[i - 1] = 1ll * inv[i] * i % mod;
}

int C(int n, int m) {
    if(n < m) return 0;
    return 1ll * fac[n] * inv[m] % mod * inv[n - m] % mod;
}

int main() {
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("AT1983.in", "r", stdin);
    freopen("AT1983.out", "w", stdout);
#endif
    Init(N - 5);
    for(int i = 1; i <= n; ++ i) {
        scanf("%d%d", &a[i], &b[i]);
        ++ f[2002 - a[i]][2002 - b[i]];
    }
    for(int i = 1; i <= 4002; ++ i)
        for(int j = 1; j <= 4002; ++ j) 
            (f[i][j] += (f[i - 1][j] + f[i][j - 1]) % mod) %= mod;
    for(int i = 1; i <= n; ++ i)
        (ans += f[a[i] + 2002][b[i] + 2002] - C((a[i] + b[i]) * 2, a[i] * 2)) %= mod;
    cout << 1ll * (mod + 1) / 2 * (ans + mod) % mod << endl;
    return 0;
}