arc082E ConvexScore

最新推荐文章于 2021-07-09 21:24:56 发布

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本文解析了AtCoder上一道关于平面凸多边形的计数问题，通过统计不同点集构成的凸包数量来计算答案，采用O(n^3)复杂度算法实现，适合算法竞赛和数据结构学习者参考。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目链接

https://arc082.contest.atcoder.jp/tasks/arc082_c

题意简述

平面上有 $n$ 个点，对于每一个顶点都是这 $n$ 个点的凸多边形，都会对答案产生 $2^x$ 的贡献，其中 $x$ 为凸多边形内部点的个数，包括在边上的点，但是不包括顶点。求答案模 $998244353$ 。

题解

观察贡献的特点，可以发现每个凸多边形对答案的贡献就是凸包为这个凸多边形的点集个数，那么答案就是能构成凸包的点集个数，也就是所有点集 $-$ 共线点集个数。统计共线点集可以 $O(n^3)$ 也可以 $O(n^2\log n)$ 。下面代码用 $O(n^3)$ 的方法。（~~我才不告诉你我不会 $O(n^2\log n)$ 呢QwQ~~）

代码

#include <cstdio>

int read()
{
  int x=0,f=1;
  char ch=getchar();
  while((ch<'0')||(ch>'9'))
    {
      if(ch=='-')
        {
          f=-f;
        }
      ch=getchar();
    }
  while((ch>='0')&&(ch<='9'))
    {
      x=x*10+ch-'0';
      ch=getchar();
    }
  return x*f;
}

const int maxn=200;
const int mod=998244353;

struct point
{
  int x,y;
};

point p[maxn+10];
int n,ans;

int quickpow(int a,int b,int m)
{
  int res=1;
  while(b)
    {
      if(b&1)
        {
          res=1ll*res*a%m;
        }
      a=1ll*a*a%m;
      b>>=1;
    }
  return res;
}

int in_line(point a,point b,point c)
{
  return (b.y-a.y)*(c.x-a.x)==(c.y-a.y)*(b.x-a.x);
}

int main()
{
  n=read();
  for(int i=1; i<=n; ++i)
    {
      p[i].x=read();
      p[i].y=read();
    }
  for(int i=1; i<=n; ++i)
    {
      for(int j=i+1; j<=n; ++j)
        {
          int cnt=0;
          for(int k=j+1; k<=n; ++k)
            {
              if(in_line(p[i],p[j],p[k]))
                {
                  ++cnt;
                }
            }
          ans+=quickpow(2,cnt,mod);
          if(ans>=mod)
            {
              ans-=mod;
            }
        }
    }
  ans+=n+1;
  if(ans>=mod)
    {
      ans-=mod;
    }
  ans=quickpow(2,n,mod)-ans;
  if(ans<0)
    {
      ans+=mod;
    }
  printf("%d\n",ans);
  return 0;
}