13、线性滤波器应用详解

线性滤波器应用详解

1 线性滤波器应用概述

线性数字滤波器的典型应用是频率滤波，用于衰减特定频率范围，如高通、低通、带通和带阻滤波器。数字滤波在信号处理领域有许多重要应用，下面将详细介绍状态变量理论、二维 FIR 滤波器和上采样滤波器的相关内容。

1.1 状态变量理论

状态变量公式是数字系统的一种流行表述方式，状态变量能完全描述系统的动态特性。只要一组状态变量代表确定给定输入下未来状态和系统输出所需的最少信息，它们就可以表示几乎任何物理量。

1.1.1 连续状态变量公式

以质量 - 弹簧 - 阻尼器振荡器为例，推导连续状态变量系统。设力输入为 (u(t))，可得二阶微分方程：
[u(t) = M\ddot{y}(t) + R\dot{y}(t) + Ky(t)]
定义状态向量：
[x(t) = \begin{bmatrix}x_1(t) \ x_2(t)\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}y(t) \ \dot{y}(t)\end{bmatrix}]
一阶微分方程为：
[\dot{x}(t) = \begin{bmatrix}0 & 1 \ -\frac{K}{M} & -\frac{R}{M}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_1(t) \ x_2(t)\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}0 \ \frac{1}{M}\end{bmatrix}u(t) = A_cx(t) + B_cu(t)]
通过拉普拉斯变换可得状态向量的 s 平面响应：
[X(s) = [sI -