16、广义特征问题的专业谱分割算法：无逆迭代的优化策略

广义特征问题的专业谱分割算法：无逆迭代的优化策略

1. 引言

在处理矩阵铅笔 $A - \lambda E$（其中 $A, E \in R^{n×n}$）时，谱分割问题备受关注。广义特征值集合 $\Lambda(A, E)$ 定义为 $\Lambda(A, E) = {z \in C : det(A - zE) = 0}$。谱分割问题旨在找到一对正交矩阵 $U, V \in R^{n×n}$，使得：
[
U^T AV =
\begin{bmatrix}
A_{11} & A_{12} \
0 & A_{22}
\end{bmatrix}
]
[
U^T EV =
\begin{bmatrix}
E_{11} & E_{12} \
0 & E_{22}
\end{bmatrix}
]
且 $\Lambda(A_{11}, E_{11})$ 和 $\Lambda(A_{22}, E_{22})$ 是包含 $\Lambda(A, E)$ 特定部分的不相交集合。谱分割在矩阵对角化、消去子空间计算以及线性二次最优控制和动态线性系统模型简化等相关问题中具有重要应用。

传统的谱分割方法通常先通过 QZ 算法获得矩阵铅笔 $A - \lambda E$ 的广义（实）Schur 形式，然后对矩阵的对角块进行重新排序。然而，QZ 算法由细粒度计算组成，在当前计算机上通常难以实现高性能。近年来的研究致力于避免 QR 和 QZ 算法的性能问题。另一种替代方法是使用与矩阵符号和圆盘函数相关的谱投影器，由此产生的迭代方案主要包括矩阵 - 矩阵乘积、