11、大型系统量子建模中的稀疏矩阵代数与高效近似密度泛函方法

大型系统量子建模中的稀疏矩阵代数与高效近似密度泛函方法

在量子建模和电子结构计算领域，高效处理矩阵运算和开发准确的计算方法至关重要。本文将介绍稀疏矩阵代数在大型系统量子建模中的应用，以及一种高效的从头算紧束缚近似密度泛函量子力学方法。

稀疏矩阵代数在量子建模中的应用

在大型系统的量子建模中，稀疏矩阵代数起着关键作用。例如，在进行矩阵运算时，sysq 操作定义为 (S = \alpha T^2 + \beta S)，其中 (\alpha) 和 (\beta) 为标量，(A)、(B) 和 (C) 是一般矩阵，(S) 和 (T) 是对称矩阵，(op(A) = A) 或 (op(A) = A^T)。

在选择矩阵块大小时，MKL 的 gemm 操作针对块大小为 4 的倍数进行了优化。如果以步长 1 扫描块大小，会导致性能曲线出现剧烈波动，性能下降可达 40%。不过，只要块大小在 24 到 64 之间，矩阵乘法性能对块大小的变化不太敏感。

下面是不同块大小和截断阈值下稀疏矩阵 - 矩阵乘法性能的对比：
|操作|截断阈值|块大小范围|性能特点|
| ---- | ---- | ---- | ---- |
|dgemm (HML)| (10^{-6}) |24 - 64|性能相对稳定|
|dgemm (HML)| (10^{-15}) |24 - 64|性能相对稳定|
|dgemm (MKL)| - |24 - 64|针对块大小为 4 的倍数优化|
|dsysq (HML)| (10^{-6}) |24 - 64|sysq 操作时间小于 gemm 操作时间的 55%|
|dsysq (HML)| (10^{