3、图像去模糊的大规模方法

图像去模糊的大规模方法

1. 引言

在矩阵计算中，图像模糊的模型为 $A x = b$，其中向量 $x$ 和 $b$ 分别代表精确图像和模糊图像，矩阵 $A$ 代表模糊过程。由于图像去模糊是一个离散的不适定问题，因此需要使用正则化方法来计算稳定的解。此外，对重建结果施加边界条件通常是有利的，这可以通过简单修改系数矩阵来实现。

本文聚焦于正则化迭代方法，即将 Krylov 子空间方法直接应用于问题 $Ax = b$。正则化源于将解投影到与该方法相关的 Krylov 子空间上，迭代次数则起到正则化参数的作用。我们使用二维离散余弦变换（2D - DCT）对通过正则化迭代计算得到的图像去模糊问题的解进行频谱分析，重点关注 CGLS/LSQR、GMRES 及其变体 MINRES、RRGMRES 和 MR - II。

2. 图像去模糊问题及其正则化

图像去模糊问题的基础是一个二维的第一类 Fredholm 积分方程，其一般形式为：
[
\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}K(s, t; x, y) f(x, y) dx dy = g(s, t),\quad 0 \leq s, t \leq 1
]
其中，$f$ 和 $g$ 分别代表精确图像和模糊图像，核函数 $K$ 是模糊的点扩散函数（PSF）。我们的工作仅限于 $n \times n$ 的方形图像，且 PSF 在空间上是不变的，并且变量可分离，即 $K(s, t; x, y) = k_c(s - x) k_r(t - y)$，其中 $k_c$ 和 $k_r$ 是给定的函数。

对积分方程进行离散化后，得到线性模型：
[
A_c