HDU 1097 1098 数学题找规律

最新推荐文章于 2021-04-01 19:29:32 发布

vsooda

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分类专栏： HDOJ 数学

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本文详细解析了HDU 1097和1098两道数学题的解题思路。1097题关键在于尾数规律，尾数与原数的关系是1,5,6的循环，4,9的循环以及2,3,7,8的循环。1098题涉及函数f(x)=5*x^13+13*x^5+k*a*x，通过数学归纳法证明对于任意x，f(x)都能被65整除，核心是找到满足条件的a值。" 131278449,18497198,Gillespie随机模拟算法在生物学中的应用及Matlab实现,"['算法', '开发语言', '生物学', 'Matlab']

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1097：

思路：找规律！！！因为只要取最后一位，所以只与最后一位数有关。尾数是1,5,6的循环规律是1（不管多少次方尾数都是原数），尾数是4,9的循环规律是2，尾数是2,3,7,8的循环规律是4.为使代码简单，取最小公倍数4.

#include <iostream>
using namespace std;
int main()
{
	int a[4], m, n;
	while(cin >> m >> n)
	{
		a[1] = m % 10;
		a[2] = (a[1] * a[1]) % 10;
		a[3] = (a[1] * a[2]) % 10;
		a[0] = (a[1] * a[3]) % 10;
		n = n % 4;
		cout << a[n] << endl;
	}
	return 0;
}

1098：

题目的关键是函数式f(x)=5*x^13+13*x^5+k*a*x;
事实上，由于x取任何值都需要能被65整除.那么用数学归纳法.只需找到f(1)成立的a,并在假设f(x)成立的基础上,
证明f(x+1)也成立.
那么把f(x+1)展开,得到5*( ( 13 0 )x^13 + (13 1 ) x^12 ...... .....+(13 13) x^0)+13*( ( 5 0 )x^5+(5 1 )x^4......其实就是二项式展开,这里就省略了 ......+ ( 5 5 )x^0 )+k*a*x+k*a;——————这里的( n m)表示组合数,相信学过2项式定理的朋友都能看明白.

然后提取出5*x^13+13*x^5+k*a*x
则f(x+1 ) = f (x) + 5*( (13 1 ) x^12 ...... .....+(13 13) x^0 )+ 13*( (5 1 )x^4+...........+ ( 5 5 )x^0 )+k*a;

很容易证明，除了5*(13 13) x^0 、13*( 5 5 )x^0 和k*a三项以外,其余各项都能被65整除.
那么也只要求出18+k*a能被65整除就可以了.
而f(1)也正好等于18+k*a

所以,只要找到a,使得18+k*a能被65整除,也就解决了这个题目.

#include <iostream>
using namespace std;
int main()
{
	int n;
	while(cin >> n)
	{
		int i, sum;
		if(n % 65 == 0)
		{
			cout << "no" << endl;
			continue;
		}
		for(i = 0; i < 66; i++)
		{
			sum  = i * n;
			if(sum % 65 == 47)
			{
				cout << i << endl;
				break;
			}
		}
		if(i == 66)
			cout << "no" << endl;
	}
	return 0;
}