8、基于拉马努金图的哈希函数

基于拉马努金图的哈希函数

1. 拉马努金图的构建

1.1 LPS 拉马努金图

对于满足特定条件的 (p) 和 (q)（(q) 是大素数且 (q \geq p^8)，(p \equiv q \equiv 1 \pmod{4})，(\left(\frac{p}{q}\right) = 1)），存在 (p + 1) 组解 ((a_0, a_1, a_2, a_3))，其中 (a_0) 为正奇数，(a_1, a_2, a_3) 为偶数，且 (a_0^2 + a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 = p)。对于每组解，我们关联矩阵：
[s =
\begin{pmatrix}
a_0 + ia_1 & a_2 + ia_3 \
-a_2 + ia_3 & a_0 - ia_1
\end{pmatrix}]
其中 (i) 是满足 (i^2 \equiv -1 \pmod{q}) 的整数。这就得到了 (PGL(2, \mathbb{Z}/q\mathbb{Z})) 中 (p + 1) 个矩阵的生成集 (SL_{PS})。由于生成元的行列式 (p) 是模 (q) 的平方（因为 (p) 是模 (q) 的二次剩余），所以它们位于 (PSL(2, \mathbb{Z}/q\mathbb{Z})) 中，(PSL(2, \mathbb{Z}/q\mathbb{Z})) 是 (PGL(2, \mathbb{Z}/q\mathbb{Z})) 的指数为 2 的子群。图 (X_{p,q} = Cay_{G, SL_{PS}}) 有 (q(q^2 - 1)/2) 个顶点，并且是 (p + 1) 正则图。

1.2 三次拉马努金图 <