42、数论与代数中的关键定理及算法

数论与代数中的关键定理及算法

1. 快速模幂运算

在数论和密码学中，快速计算模幂是一个常见且重要的问题。对于指数 (e)，可以将其表示为二进制形式：
(e = 2^{k - 1}e_{k - 1} + 2^{k - 2}e_{k - 2} + \cdots + 2^1e_1 + 2^0e_0)（其中 (e_{k - 1} = 1)）
进而得到 (x^e) 的计算方式：
(x^e = x^{(\cdots((2e_{k - 1} + e_{k - 2})\cdot 2 + e_{k - 3})\cdot 2 + \cdots + e_1)\cdot 2 + e_0} = (\cdots(((x^2 \cdot x^{e_{k - 2}})^2 \cdot x^{e_{k - 3}})^2 \cdot \cdots)^2 \cdot x^{e_1})^2 \cdot x^{e_0})
由此得到快速模幂运算的平方 - 乘法算法：

Algorithm A.27.
int ModPower(int x, n, bitString e_{k - 1} \cdots e_0)
1. y ← x;
2. for i ← k - 2 downto 0 do
3.     y ← y^2 \cdot x^{e_i} mod n
4. return y

命题 A.28 表明，设 (l = \lfloor\log_2 e\rfloor)，计算 (x^e \bmod n) 可以通过 (l) 次平方运算、(l) 次乘法运算和 (l) 次除法运算完成。

2. 中国剩余定理

中国剩余定理为求解同余方程组提供了一种方法。
- 定理 A.29 ：设 (n_1, \cdots, n_r \in \mathbb{N}) 是两两互质的数，即对于 (i \neq j)，(\gcd(n_i, n_j) = 1)。设 (b_1, b_2, \cdots, b_r) 是任意整数，则存在整数 (b) 使得 (b \equiv b_i \bmod n_i)，(i = 1, \cdots, r)，并且 (b \bmod n) 是唯一的，其中 (n = n_1 \cdots n_r)。
- 定理 A.30 ：设 (n_1, \cdots, n_r \in \mathbb{N}) 是两两互质的数，(n = n_1 \cdots n_r)，则映射 (\psi : \mathbb{Z} n \to \mathbb{Z} {n_1} \times \cdots \times \mathbb{Z}_{n_r})，([x] \mapsto ([x \bmod n_1], \cdots, [x \bmod n_r])) 是环同构。

下面是证明定理 A.30 的流程：

graph TD;
    A[定义映射\(\psi\)] --> B[证明\(\psi\)是环同态];
    B --> C[证明\(\psi\)的定义域和值域基数相同];
    C --> D[证明\(\psi\)是满射];
    D --> E[构造\(t_i\)和\(u_i\)];
    E --> F[证明\((0, \cdots, 0, 1, 0, \cdots, 0)\)在\(\psi\)的像中];
    F --> G[证明任意元素在\(\psi\)的像中];

中国剩余定理的应用：
- 计算满足 (b \equiv b_i \bmod n_i) 的 (b)：
- 预处理步骤：使用扩展欧几里得算法计算模 (n_i) 下 ([t_i]^{-1} = [d_i])。
- 计算 (b = \sum_{i = 1}^r b_i \cdot d_i \cdot t_i)。
- 简化模 (n) 的算术计算：
- 将操作数通过 (\psi) 映射到 (\mathbb{Z} {n_1} \times \cdots \times \mathbb{Z} {n_r}) 进行计算。
- 最后将结果通过 (\psi^{-1}) 映射回 (\mathbb{Z}_n)。

作为推论，对于欧拉函数 (\varphi(n))，若 (n = p_1^{e_1} \cdots p_r^{e_r}) 是 (n) 的素数分解，则有：
- (\mathbb{Z} n) 同构于 (\mathbb{Z} {p_1^{e_1}} \times \cdots \times \mathbb{Z} {p_r^{e_r}})。
- (\mathbb{Z}_n^ ) 同构于 (\mathbb{Z}_{p_1^{e_1}}^ \times \cdots \times \mathbb{Z} {p_r^{e_r}}^*)。
并且 (\varphi(n) = n \prod_{i = 1}^r (1 - \frac{1}{p_i}))。

3. 原根与离散对数

• 定义 ：设 (G) 是有限群，(e) 是 (G) 的单位元，(x \in G)，使得 (x^n = e) 的最小正整数 (n) 称为 (x) 的阶，记为 (\text{ord}(x))。
• 相关引理和推论 ：
  • 若 (x^n = e)，则 (\text{ord}(x)) 整除 (n)。
  • (\text{ord}(x)) 整除 (|G|)。
  • 设 (l \in \mathbb{Z})，(d = \gcd(l, \text{ord}(x)))，则 (\text{ord}(x^l) = \frac{\text{ord}(x)}{d})。
• 循环群 ：有限群 (G) 称为循环群，如果存在 (x \in G) 生成 (G)，即 (G = {x, x^2, x^3, \cdots, x^{\text{ord}(x) - 1}, x^{\text{ord}(x)} = e})，这样的 (x) 称为 (G) 的生成元。
• 定理 ：若 (p) 是素数，则 (\mathbb{Z}_p^*) 是循环群，生成元的个数为 (\varphi(p - 1))。
• 原根的判定 ：设 (p) 是素数，(x \in \mathbb{Z}_p^*) 是原根当且仅当对于每个整除 (p - 1) 的素数 (q)，(x^{\frac{p - 1}{q}} \neq [1])。

生成原根的算法：

Algorithm A.40.
int PrimitiveRoot(prime p)
1. Randomly choose an integer g, with 0 < g < p - 1
2. if g^{(p - 1) \div q} \not\equiv 1 \bmod p, for all primes q dividing p - 1
3.     then return g
4. else
5.     go to 1

设 (p) 是素数，(q) 是整除 (p - 1) 的素数，集合 (G_q = {x \in \mathbb{Z}_p^ | \text{ord}(x) = q \text{ 或 } x = [1]}) 是 (\mathbb{Z}_p^ ) 的子群，且是循环群。

在模素数计算中，有以下规则简化计算：
|条件|规则|
|----|----|
| (x \in \mathbb{Z}_p^*) | (x^k = x^{k’})，若 (k \equiv k’ \bmod (p - 1))；(x^{-k} = x^{p - 1 - k}) |
| (x \in G_q) | (x^k = x^{k’})，若 (k \equiv k’ \bmod q)；(x^{-k} = x^{q - k}) |

这些规则在计算中非常有用，例如计算 (x^k) 的逆 (x^{-k}) 时，可以通过 (x^{p - 1 - k}) 计算，避免使用欧几里得算法。在很多情况下，还可以计算 (\mathbb{Z}_p^*) 中元素的 (k) 次方根。

数论与代数中的关键定理及算法

4. 多项式与有限域

有限域是具有有限个元素的域，例如当 (n) 为素数时，剩余类环 (\mathbb{Z}_n) 就是一个有限域，记为 (\mathbb{F}_p)（(p) 为素数），有限域是这些素域的扩展，其构造与多项式相关。

4.1 多项式环

设 (k[X]) 是系数在域 (k) 上的一元多项式环，其中的元素为多项式 (F(X) = a_0 + a_1X + a_2X^2 + \cdots + a_dX^d = \sum_{i = 0}^d a_iX^i)，(a_i \in k)。若 (a_d \neq 0)，则称 (d) 为 (F) 的次数，记为 (\deg(F))，次数为 0 的多项式就是 (k) 中的元素。

多项式的加法和乘法规则如下：
- 加法 ：设 (F = \sum_{i = 0}^d a_iX^i)，(G = \sum_{i = 0}^e b_iX^i)，且 (d \leq e)，则 (F + G = \sum_{i = 0}^e (a_i + b_i)X^i)（当 (d < i \leq e) 时，(a_i = 0)）。
- 乘法 ：(F \cdot G = \sum_{i = 0}^{d + e} (\sum_{k = 0}^i a_kb_{i - k})X^i)。

通过这样的加法和乘法，(k[X]) 成为一个具有单位元的交换环，单位元是 (k) 中的 1，且 (k[X]) 没有零因子。

多项式环 (k[X]) 的代数性质与整数环类似，下面是一些相关定义和定理：
- 整除与最大公因式 ：类似整数的定义，可定义多项式 (F) 整除 (G) 以及 (F) 和 (G) 的最大公因式，最大公因式在相差一个非零因子 (c \in k) 的意义下是唯一的。若 (F) 和 (G) 的唯一公因式是 (k) 中的单位 (k^ )，则称 (F) 与 (G) 互质。
- 带余除法 *：设 (F, G \in k[X])，(G \neq 0)，则存在唯一的多项式 (Q, R \in k[X]) 使得 (F = Q \cdot G + R)，且 (0 \leq \deg(R) < \deg(G))。(R) 称为 (F) 模 (G) 的余数，记为 (F \bmod G)；(Q) 称为 (F) 与 (G) 的商，记为 (F \div G)。

使用欧几里得算法可以计算多项式 (F) 和 (G) 的最大公因式，扩展欧几里得算法可以得到线性组合 (A = C \cdot F + D \cdot G)，其中 (A) 是 (F) 和 (G) 的最大公因式。若 (F) 与 (G) 互质，则扩展欧几里得算法可计算出 (1 = C \cdot F + D \cdot G)。

下面是多项式带余除法的流程图：

graph TD;
    A[输入多项式\(F\)和\(G\)] --> B[初始化\(Q = 0\)，\(R = F\)];
    B --> C{判断\(\deg(R) \geq \deg(G)\)};
    C -- 是 --> D[计算商的一项\(T = \frac{\text{首项}(R)}{\text{首项}(G)}\)];
    D --> E[更新\(Q = Q + T\)，\(R = R - T \cdot G\)];
    E --> C;
    C -- 否 --> F[输出\(Q\)和\(R\)];

4.2 有限域中的计算

在有限域 (\mathbb{F}_p) 中，有以下计算规则：
- 幂运算规则 ：
- 若 (x \in \mathbb{Z}_p^*) 且 (\gcd(k, p - 1) = 1)，设 (k^{-1}) 是 (k) 模 (p - 1) 的逆元，即 (k \cdot k^{-1} \equiv 1 \bmod (p - 1))，则 ((x^{k^{-1}})^k = x)，可将 (x^{k^{-1}}) 记为 (x^{\frac{1}{k}})，表示 (x) 的 (k) 次方根。
- 若 (x \in G_q)（(q) 是整除 (p - 1) 的素数）且 (1 \leq k < q)，设 (k^{-1}) 是 (k) 模 (q) 的逆元，即 (k \cdot k^{-1} \equiv 1 \bmod q)，则 ((x^{k^{-1}})^k = x)，同样可记为 (x^{\frac{1}{k}})。

这些规则与有限群 (G) 中元素 (g^k) 的计算规则类似，根据 (g^{|G|}) 是单位元，指数 (k) 在模 (|G|) 下进行加法和乘法运算。

下面是在有限域 (\mathbb{F}_p) 中计算 (k) 次方根的步骤：
1. 输入元素 (x \in \mathbb{Z}_p^*) 和正整数 (k)。
2. 判断 (\gcd(k, p - 1)) 是否为 1（若 (x \in G_q)，则判断 (\gcd(k, q)) 是否为 1）。
3. 若为 1，使用扩展欧几里得算法计算 (k) 模 (p - 1)（或 (q)）的逆元 (k^{-1})。
4. 计算 (x^{k^{-1}}) 得到 (x) 的 (k) 次方根。

通过这些规则和算法，可以在有限域中高效地进行各种计算，例如在密码学中，有限域的运算常常用于加密算法的设计和实现。

综上所述，数论和代数中的这些关键定理和算法，包括快速模幂运算、中国剩余定理、原根与离散对数以及多项式与有限域的相关知识，在密码学、计算机科学等领域都有着广泛的应用。它们为解决实际问题提供了强大的工具，并且在理论研究和实际应用中都具有重要的价值。