16、广义四元数群的拉马努金凯莱图与哈代 - 利特尔伍德猜想

广义四元数群的拉马努金凯莱图与哈代 - 利特尔伍德猜想

1. 引言

扩展图是一种具有强连通性的稀疏图，因其丰富的理论和广泛的应用，在组合数学、群论、微分几何和数论等多个数学领域都受到了广泛研究。其中，拉马努金图在阿隆 - 博帕纳定理的意义下是最优的扩展图，它不仅在纯数学领域发挥着重要作用，在应用数学中也有重要地位。

拉马努金图之所以对数论学家有特殊的吸引力，是因为一个图是拉马努金图当且仅当其关联的井草zeta函数满足“黎曼假设”。此外，由于在拉马努金图上的随机游走能迅速收敛到均匀分布，它还被用于构造密码哈希函数。

然而，寻找或构造拉马努金图通常是困难的。我们考虑这样一个问题：在给定的图族中，从一个拉马努金图中可以自由移除多少条边，使得该图仍然保持为拉马努金图？作为第一步，我们从一个平凡的拉马努金图（即完全图）开始，在固定群的凯莱图族中研究这个问题。移除边对应于减少群的凯莱子集的元素。

此前，我们已经研究了循环群和二面体群的情况，发现确定可移除边的最大数量与经典的哈代 - 利特尔伍德猜想有关。在本文中，我们将研究广义四元数群$Q_{4m}$的相同问题，并在适当选择凯莱图集合的情况下获得类似的结果。

1.1 符号说明

• $\mathbb{R}$：所有实数的集合。
• $\mathbb{Z}$：所有整数的集合。
• $\mathbb{P}$：所有奇素数的集合。
• 对于$x\in\mathbb{R}$，$\lfloor x\rfloor$表示小于或等于$x$的最大整数，$\lceil x\rceil$表示大于或等于$x$的最小整数。