28、网络中的度相关性：从电影演员合作网络到互联网

网络中的度相关性：从电影演员合作网络到互联网

在网络研究中，度分布是一个重要的概念，但在很多情况下，仅考虑度分布 $p_k$ 是不够的，因为现实世界中的网络往往存在度 - 度相关性。本文将通过电影演员合作网络和互联网网络的例子，深入探讨度 - 度相关性，并介绍处理相关网络的数学方法。

1. 电影演员合作网络中的度 - 度相关性

以电影演员合作网络为例，我们想知道社交活跃的演员是更倾向于与其他社交活跃的演员合作，还是与著名演员合作。为了回答这个问题，我们可以比较低度数节点的一阶邻居的典型度数和高度数节点的一阶邻居的典型度数。

选取两类节点：度数 $k$ 从 1 到 10 的节点，以及度数 $k$ 从 1000 到 1010 的节点。计算第一类节点邻居的平均度数 $k’$，得到值为 143.6。但不要被这个远大于 10 的数字误导，这是由于网络的长尾度分布导致的。在无相关性的图中，随机选择节点的邻居的平均度数 $\langle k_{nn}\rangle$ 等于 $\langle k^2\rangle / \langle k\rangle$。对于电影演员网络，$\langle k^2\rangle / \langle k\rangle = 324.8$，这个值在图中用虚线表示。

对于第二类节点，其邻居的平均度数 $k’$ 等于 534.8。这表明 $k’$ 的值依赖于 $k$，并且与 $k$ 正相关。这意味着电影演员更倾向于与重要性大致相同的其他演员合作，例如明星经常一起出演高预算电影，而低成本电影的演员阵容几乎完全由不太著名的演员组成。

2. 互联网网络中的度 - 度相关性

互联网是一个全球性的通信基础设施，它允许计算